Погрешность действий над приближенными числами. Ł Абсолютная и относительная погрешности Приближенные вычисления с помощью правил подсчета цифр

Погрешность суммы и разности приближенных чисел.»

Абсолютная и относительная погрешности.

На практике обычно числа, над которыми производятся вычисления, являются приближенными значениями тех или иных величин. Для краткости речи приближенное значение величины называют приближенным числом. Истинное значение величины называют точным числом.

Приближенное число имеет практическую ценность лишь тогда, когда мы можем определить, с какой степенью точности оно дано, то есть оценить его погрешность, отличие от точного числа. Будем обозначать через x точное число, через a – приближенное число.

Определение 1.1 . Истинной погрешностью приближенного числа a называется разность между точным числом x a .

Таким образом, истинная погрешность приближенного числа a равна . Истинная погрешность может быть числом положительным, отрицательным или равным нулю.

Определение 1.2 . Абсолютной погрешностью приближенного числа a называется модуль разности между точным числом x и его приближенным значением a .

Абсолютную погрешность приближенного числа a будем обозначать

. То есть,

.

Точное число x чаще всего бывает неизвестно, поэтому найти истинную и абсолютную погрешности не представляется возможным. С другой стороны, бывает необходимо оценить абсолютную погрешность, то есть указать число, которого не может превысить абсолютная погрешность. Другими словами, нужно знать границу абсолютной погрешности. Эту границу будем называть предельной абсолютной погрешностью.

Определение 1.3 . Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа a такое, что

.

Последнюю формулу можно записать в виде:

. Таким образом,

есть приближенное значение числаx по недостатку,

- по избытку. Используют также такую запись:

.

Очевидно, что предельная абсолютная погрешность выбирается неоднозначно: если какое-то число является предельной абсолютной погрешностью, то любое большее число тоже есть предельная абсолютная погрешность. На практике стараются выбирать возможно меньшее и простое по записи (с 1-2 значащими цифрами) число , удовлетворяющее неравенству

.

Пример.

Определить истинную, абсолютную и предельную абсолютную погрешности числа

, взятого в качестве приближенного значения числа.

Истинная погрешность:

.

Абсолютная погрешность:

.

За предельную абсолютную погрешность можно принять число и любое большее число. В десятичной записи будем иметь

. Заменяя это число большим и возможно более простым по записи, примем:

.

Часто говорят, что a есть приближенное значение числа x с точностью до .

Так как термины «истинная погрешность» и «абсолютная погрешность» в дальнейшем практически не будут использоваться, предельную абсолютную погрешность будем называть просто абсолютной погрешностью. Слово погрешность употребляется, когда речь идет о действиях над числами. Когда говорят об измерениях, вместо слова «погрешность» употребляют слово «ошибка».

Знания абсолютной погрешности недостаточно для характеристики качества измерения или вычисления.

Определение 1.4 . Относительной погрешностью  приближенного значения a называется отношение абсолютной погрешности

к модулю числаx :

. Так как точное число обычно бывает неизвестно, его заменяют приближенным числом:

.

Определение 1.5 . Предельной относительной погрешностью приближенного числа a называется положительное число такое, что

.

Так как

, то

.

Для краткости вместо предельной относительной погрешности будем говорить просто относительная погрешность. Относительную погрешность обычно выражают в процентах.

Пример.

При взвешивании тела получен результат:

г. Имеем

;

. Произведя деление и округляя в большую сторону, получаем

.

Определение 1.6 . Значащими цифрами числа называются все цифры его десятичного представления, кроме нулей, стоящих перед первой цифрой, отличной от нуля.

Определение 1.7 . Цифра  называется верной в узком смысле, если абсолютная погрешность приближенного числа не превосходит половины единицы того разряда, в котором записана цифра  .

Пример.

Даны приближенные числа, все цифры которых верны в узком смысле:

;

;

. Предельные абсолютные погрешности этих чисел:

;

;

.

Определение 1.8 . Цифра  называется верной в широком смысле, если абсолютная погрешность приближенного числа не превосходит единицы того разряда, в котором записана цифра  .

Принимается за правило при десятичной записи приближенного числа писать только верные в широком смысле цифры. То есть при правильной записи абсолютная погрешность не превышает единицы низшего разряда.

Определение 1.9 . Погрешностью округления называется погрешность, возникающая при округлении.

Пример.

Округляя точное число

до двух значащих цифр, получим

. Погрешность округления менее

. Округляя точное число

до трех значащих цифр, получим приближенное значение

. Погрешность округления не превышает

.

На первый взгляд, последнее определение может показаться «примитивным». Однако это не так. Чтобы пояснить почему, рассмотрим задачу.

Задача.

Вычислить приближенно сумму ряда

с точностью

. Из курса анализа известно, что, если ряд является знакочередующимся и его члены убывают по абсолютной величине, то достаточно найти тот член ряда, который по модулю меньше, чем , и, сложив все предыдущие члены, мы получим приближенное значение суммы с необходимой точностью. Наш ряд удовлетворяет этим условиям.

,

,

,

,

,

. (Мы здесь округляли промежуточные значения до шестого знака после запятой для того, чтобы промежуточные округления не повлияли бы на окончательный ответ.) Модуль четвертого члена меньше, чем , поэтому

Округляя результат до третьего знака после запятой, чтобы в ответе оставить только значащие цифры в широком смысле, получаем:

. Мы можем оценить абсолютные погрешности этих двух приближений, так как числовой ряд представляет бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, и мы можем посчитать точное значение суммы.

;

Видно, что абсолютная погрешность первого приближения, как и должно быть, меньше  . Абсолютная же погрешность второго, округленного приближения, вследствие погрешности округления, больше заданной точности.

Найти какую-либо величину (корень уравнения, интеграл и т.п.) с точностью  , это означает найти такое приближенное значение величины, абсолютная погрешность которого строго меньше  . При этом обычно берут

, где

. Причем окончательный результат округляют доn знаков после запятой. Таким образом, появляется погрешность округления, которая меньше либо равна . Поэтому договоримся при решении любой задачи каким-либо численным методом вместо брать величину так, чтобы окончательный округленный результат имел абсолютную погрешность, строго меньшую .

Вернемся к задаче. Будем теперь сначала искать сумму ряда с точностью

.

, а

. Поэтому

Округляя результат до третьего знака после запятой, получаем:

. Причем.

При решение задач, связанных с вычислениями, получаются числовые результаты, которые часто не являются точными, т.к. при постановке задачи и в ходе вычислений возникают погрешности.

Источниками погрешностей являются:

1) погрешности исходных данных;

2) погрешности округления промежуточных и окончательных результатов;

3) погрешности приближенного метода решения задачи.

При выполнении действий над приближенными числами надо:

1) зная точность исходных данных, уметь оценивать точность результата;

2) брать исходные данные с такой точностью, чтобы обеспечить заданную точность результата.

2.1 Погрешности приближенных чисел

Пусть число х является точным значением, а число а - приближенным значением некоторой величины.

Определение. Разность между числом x и его приближенным значением а называется погрешностью приближенного числа а: Δ = |х-а |.

Пусть х=10,5, а=10, тогда Δ=10,5-10=0,5.

Пусть х=9,5, а=10, тогда Δ=9,5-10=-0,5.

Определение. Абсолютная величина разности между числом x и его приближенным значением а называется абсолютной погрешностью приближенного числа а: Δа = |х-а|

Пусть х=10,5, а=10, тогда Δа =|10,5-10|=0,5.

Пусть х=9,5, а=10, тогда Δa=|9,5-10|=0,5.

Часто точное число х неизвестно. Тогда нельзя найти Δа = |х-а|, поэтому используют оценку абсолютной погрешности - предельную абсолютную погрешность Δ а ≥ Δа =x-а|. При этом число х заключено в границах:

а - Δ а  х  а + Δ а или кратко: х = а ± Δ а.

Читают: х равно а с точностью Δ а.

Для того, чтобы определить качество производимых вычислений, надо определить, какую долю составляет абсолютная погрешность от измеряемой величины. Для этого используют относительную погрешность.

Определение. Относительной погрешностью δа приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности Δа к модулю числа х:

или

.

Оценкой относительной погрешности ба является предельная относительная погрешность:

Пример. Дано число х=0,4287 и его приближенное значение а=0,4264. Найти абсолютную и относительную погрешности числа а.

Решение. Вычислим абсолютную погрешность числа а:

Δа=|0,4287- 0,4264| = 0,0023.

Вычислим относительную погрешность числа а:

или 5,4%.

Замечания. 1. При записи погрешности принято оставлять 1-2 значащих цифры. Погрешности всегда округляют в сторону увеличения. При этом границы точного числа х расширяются.

2. Если число х неизвестно, то при нахождении относительной погрешности используют число а.

3. Относительную погрешность часто выражают в процентах, домножая ее на 100%.

2.2. Значащие и верные цифры приближенного числа

Для оценки точности приближенного числа а принято записывать его в виде десятичной дроби. Точность вычислений определяется не числом десятичных знаков (цифр после запятой), а числом верных значащих цифр результата.

Определение. Значащими цифрами числа а называются все его цифры, кроме нулей, записанных перед первой цифрой, отличной от нуля, и нули в конце записи, если они служат для сохранения разряда или точности числа.

Пример. Определить значащие цифры числа а.

а = 0,02701 => значащие цифры: 2,7,0,1.

а = 0,0270 => значащие цифры: 2,7,0.

а = 2700 => значащие цифры: 2,7,0,0.

Определение. Цифра α i приближенного числа а называется верной значащей цифрой в широком смысле (в строгом смысле), если предельная абсолютная погрешность числа а не превышает единицы (половины единицы) разряда, в котором записана цифра α i: Δ а 10 i (Δ а 0,5∙10 i).

Пример. Определить верные цифры приближенного числа а=0,7264, если абсолютная погрешность Δ а =0,0023.

Решение. Абсолютная погрешность Δ а =0,0023  0,005 = 0,5∙10 -2 . Следовательно, цифры 7 и 2 - верные в строгом смысле, цифры 6 и 4 – неверные (сомнительные). Так как Δ а  = 0,0023 < 0,01 = 10 -2 , то цифры 7 и 2 являются верными в широком смысле.

Замечания. 1. В математических таблицах все значащие цифры являются верными в строгом смысле.

2. В окончательном результате принято оставлять только верные цифры. Тогда предельная абсолютная погрешность числа а определяется по единице младшего разряда. Например, пусть а=127,38, тогда Δ а =0,01, если все цифры являются верными в строгом смысле, и Δ а = 0,5∙ 0,01 = 0,005, если все цифры являются верными в широком смысле.

Пример. Определить, какое равенство точнее 13/19=0,684 или

=7,21?

Решение. Обозначим а =0,684, в =7,21. Найдем абсолютные погрешности этих чисел. Для этого возьмем 13/19 и

с большим числом десятичных знаков: 13/39=0,68421...,

=7,2111...

Тогда Δ а =|0,68421...-0,684| < 0,00022, Δ в = |7,2111...-7,21| < 0,0012.

Найдем относительные погрешности:

или 0,033%.

или 0,017%.

Второе равенство более точное, так как

.

2.3. Округление чисел

В приближенных вычислениях часто приходится округлять числа как приближенные, так и точные, т. е. отбрасывать одну или несколько последних цифр. При округ­лении числа мы заменяем его приближенным числом с меньшим коли­чеством значащих цифр, в результате чего возникает погрешность ок­ругления. Чтобы эта погрешность была минимальной, нужно придер­живаться некоторых правил округления.

Правило I . Если первая слева из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя из сохраняемых цифр усиливается, т.е. увеличивается на единицу. Усиление производится и тогда, когда первая слева из от­брасываемых цифр равна 5, а за ней следуют отличные от нуля цифры.

Пример. Округляя до десятых долей число 73,473, получим 73,5. Послед­няя из оставшихся цифр усилена, так как 7 > 5.

Правило II . Если первая из отброшенных цифр меньше 5, то последняя из оставшихся цифр не усиливается, т. е. остается без изменения.

Пример. Округляя до сотых долей число 73,473, получим 73,47.

Правило III . Если первая слева из отброшенных цифр равна 5 и за ней не следуют отличные от нуля цифры, то последняя остав­шаяся цифра усиливается, если она нечетная, и остается без изменения, если она четная (правило четной цифры).

Пример. Округляя число 5,785 до сотых долей, получаем 5,78. Усиления не делаем, так как последняя сохраняемая цифра 8 - четная. Округляя число 5,775 до второго десятичного знака, имеем 5,78. Последняя сохраняемая цифра 7 увеличивается на единицу, поскольку она нечетная.

При применении правила III к округлению одного числа мы фак­тически не увеличиваем точность вычислений, однако при многочис­ленных округлениях избыточные числа встречаются примерно так же часто, как и недостаточные. Происходит взаимная компенсация погреш­ностей, результат оказывается более точным.

Таким образом, при применении выше рассмотренных правил ок­ругления абсолютная погрешность округления не превосходит полови­ны единицы разряда, определяемого последней оставленной значащей цифрой.

Если точное число х округляется до n значащих цифр, то получаемое приближенное число а имеет абсолютную погрешность, равную погрешности округления. В этом случае прибли­женное число а имеет n верных значащих цифр в узком смысле.

Пример. Округляя число х=26,837 до трех значащих цифр, получим а =26,8, откуда Δ а = |х-а | = | 26,837-26,8 |=0,037 < 0,05, т. е. число а имеет три верные значащие цифры в узком смысле.

При округлении приближенного числа a получаем новое прибли­женное число а 1 .

Определение. Число Δ а1 = Δ а +Δ окр называется погрешностью округления.

Абсолютная погрешность числа a 1 складывается из абсолютной погрешности первоначального числа Δ а и погрешности округления Δ окр, т. е.

Δ а1 = Δ а +Δ окр.

Пример. Округлить сомнительные цифры числа х=34,124 ± 0,021. Определить абсолютную погрешность результата.

Решение. Приближенное число a=34,124 имеет три верные цифры в узком смыс­ле: 3, 4, 1, так как Δ а =0,021 < 0,05. Применяя правила округления, найдем приближенное значение а 1 , сохранив десятые доли: а 1 = 34,1. Погрешность округления Δ окр =|34,124-34,1|=0,024. Тогда абсолютная погрешность числа а 1 равна Δ а1 =Δ а +Δ окр =0,021+0,024 = 0,045 < 0,05.

Таким образом, все значащие цифры числа а 2 верные (в узком смысле).

Итак, х=34,1 ±0,045.

Однако при округлении приближенного числа а, имеющего n вер­ных значащих цифр (в узком смысле), до n значащих цифр может ока­заться, что округленное число а 1 будет иметь n верных значащих цифр в широком смысле.

Пример. Приближенное число a=15,3654 (± 0,0018) имеет четыре верные значащие цифры в узком смысле (1, 5, 3, 6), так как Δ а =0,0018 < 0,005. При округлении до четырех значащих цифр получим а 1 = 15,37 и Δ а1 =Δ а +Δ окр =0,0018+|15,3654-15,37|=0,0064.

Очевидно, что 0,005 < 0,0064 < 0,01. Следовательно, число 15,37 (± 0,0064) имеет четыре верные цифры в широком смысле.

Итак, х=15,37 ±0,0064.

Пример. Округлить сомнительные цифры числа а=26,7245 (± 0,0026), оставив верные знаки в узком смысле. Определить абсолютную погрешность ре­зультата.

Решение. По условию Δ а = 0,0026 < 0,005, следовательно, в числе 26,7245 верными в узком смысле являются цифры 2, 6, 7, 2. Используя правила округления, найдем приближенное значение а 1 , сохранив сотые доли:

Полученная погрешность больше 0,005 (0,005 < 0,0071), поэтому уменьшим чис­ло цифр в приближенном числе до трех; а 2 = 26,7. Находим Δ а2 = =Δ а +Δ окр =0,0026+|26,7245-26,7|=0,0271< 0,05. Следовательно, оставшиеся три цифры верны в узком смысле.

Итак, х=26,7 ±0,0271 => х=26,7 ±0,03, округляя погрешность до двух знаков.

Пример. Округлить сомнительные цифры числа а=22,7314, оставив верные знаки в узком смысле. Определить абсолютную погрешность числа, если δ а = 0,2%.

Решение. Запишем δ а в виде десятичной дроби: δа=0,002 и опреде­лим абсолютную погрешность . Так какΔ а = =0,0455 < 0,05, то верными в этом числе будут три цифры: 2, 2, 7. Округлим число 22,7314, сохранив в нем десятые доли: а 1 = 22,73. Тогда Δ а1 = =Δ а +Δ окр =0,0455+|22,7314-22,73|=0,0769>0,05, поэтому уменьшим чис­ло цифр в приближенном числе до двух: а 2 =23. Находим Δ а2 = =Δ а +Δ окр =0,0455+|22,7314-23|=0,3141< 0,05. Следовательно, оставшиеся две цифры верны в узком смысле.

Итак, х=23 ±0,3141 => х=23 ±0,32.

2.3. Правила действий над приближенными числами

Правило 1. Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей этих чисел:

Δ а±в =Δ а + Δ в

Правило 2. Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел равна сумме относительных погрешностей этих чисел:

δ ав = δ а +δ в.

Правило 3. Относительная погрешность частного приближенных чисел равна сумме относительных этих чисел: δ а/в = δ а +δ в.

Правило 4. Относительная погрешность степени приближенного числа а равна: δa n = nδ а.

Правило 5. Относительная погрешность корня из приближенного числа а равна:

.

Правило 6. При вычислениях, если не проводится строгий подсчет погрешностей, рекомендуется пользоваться правилами подсчета цифр. Эти правила указывают, как следует проводить округление результатов, чтобы обеспечить заданную точность результата и при этом не производить вычислений с лишними знаками.

Правила предполагают, что числа, над которыми производятся действия, содержат только верные цифры, и число действий невелико.

I. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранить столько десятичных знаков, сколько их в числе, имеющем наименьшее число десятичных знаков.

II. При умножении и делении в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их в числе с наименьшим числом значащих цифр.

III. При возведении приближенного числа в степень в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их в основании степени.

IV. При извлечении корня из приближенного числа следует сохранить столько значащих цифр, сколько их в подкоренном числе.

V. В промежуточных результатах следует сохранять на 1-2 цифры больше, чем рекомендуют правилах I-IV. В окончательном результате "запасные цифры" отбрасываются с округлением числа.

VI. Если некоторые исходные данные имеют больше десятичных знаков (при сложении и вычитании) или больше значащих цифр (при других действиях), чем другие, то их предварительно следует округлить, сохраняя лишь одну "эапасную цифру".

VII. Для получения результата с N верными цифрами исходные данные следует брать с таким числом цифр, которые согласно предыдущим правилам обеспечивают N+1 цифру в результате.

Пример. Найдем s=2,35+11,8 без учета погрешностей. Применяя правило I, получим s=14,15. Результат округлим по числу 11,8 с наименьшим количеством десятичных знаков. Получим: s =14,2.

Решим задачу с учетом погрешностей. В числе s=14,15 надо оставить только верные цифры. Для этого найдем предельную абсолютную погрешность суммы s, используя правило 1. Учитывая, что все цифры в числах 2,35 и 11,8 являются верными, получим: Δ 14,15 =Δ 2,35 +Δ 11,8 =0,01+0,1=0,11 < 0,5. Последняя верная цифра в числе 14,15 находится в разряде единиц. Поэтому число s=14,15 надо округлить: s=14 и найти абсолютную погрешность округленного числа. Погрешность округления равна: |14,15-14|=0,15. Тогда абсолютная погрешность округленного числа Δ 14 =0,11+0,15=0,26 <0,5. Окончательный результат примет вид: s=14 ± 0,26.

Аналогично решаются задачи при выполнении других действий над приближенными числами.

Покажем это на примерах. Округлить:

а) до десятых 12,34;

б) до сотых 3,2465; 1038,785;

в) до тысячных 3,4335.

г) до тысяч 12375; 320729.

а) 12,34 ≈ 12,3;

б) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;

в) 3,4335 ≈ 3,434.

г) 12375 ≈ 12 000; 320729 ≈ 321000.

Примечание . Еще Несколько лет назад в случае отбрасывания одной лишь цифры 5 пользовались "правилом четной цифры": последнюю цифру оставляли без изменения, если она четная, и увеличивали на единицу, если нечетная. Теперь же "правила четной цифры" не придерживаются: если отбрасывают одну цифру 5, то к последней оставленной цифре прибавляют единицу независимо от того, четная она или нечетная.

3. Абсолютная и относительная погрешности. Разность между точным числом и его приближенным значением называется абсолютной погрешностью приближенного числа. Например, если точное число 1,214 округлить до десятых, получим приближенное число 1,2. В данном случае абсолютная погрешность приближенного числа 1,2 равна 1,214 - 1,2, т.е. 0,014.

Но в большинстве случаев точное значение рассматриваемой величины неизвестно, а только приближенное. Тогда и абсолютная погрешность неизвестна. В этих случаях указывают границу, которую она не превышает. Это число называют граничной абсолютной погрешностью. Говорят, что точное значение числа равно его приближенному значению с погрешностью меньшей, чем граничная погрешность. Например, число 23,71 есть приближенное значение числа 23,7125 с точностью до 0,01, так как абсолютная погрешность приближения равна 0,0025 и меньше 0,01. Здесь граничная абсолютная погрешность равна 0,01 (Абсолютная погрешность бывает и положительной и отрицательной. Например, 1,68 ≈ 1,7. Абсолютная погрешность равна 1,68 – 1,7 ≈ –0,02. Граничная абсолютная погрешность всегда положительна ).

Граничную абсолютную погрешность приближенного числа а обозначают символом Δ a . Запись

x ≈ a (±Δ a )

следует понимать так: точное значение величины x находится в промежутке между числами а – Δ a и а + Δ а , которые называют соответственно нижней и верхней границей х и обозначают НГ x ВГ х .

Например, если x ≈ 2,3 (±0,1), то 2,2x Наоборот, если 7,3х х ≈ 7,35 (±0,05). Абсолютная или граничная абсолютная погрешность не характеризует качество выполненного измерения. Одна и та же абсолютная погрешность может считаться значительной и незначительной в зависимости от числа, которым выражается измеряемая величина. Например если измеряем расстояние между двумя городами с точностью до одного километра, то такая точность вполне достаточна для этого изменения в то же время при измерении расстояния между двумя домами одной улицы такая точность будет недопустимой. Следовательно, точность приближенного значения величины зависит не только от величины абсолютной погрешности, но и от значения измеряемой величины. Поэтому мерой точности служит относительная погрешность.

Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к величине приближенного числа. Отношение граничной абсолютной погрешности к приближенному числу называют граничной относительной погрешностью; обозначают ее так: . Относительную и граничную относительную погрешности принято выражать в процентах. Например, если измерения показали, что расстояние х между двумя пунктами больше 12,3 км, но меньше 12,7 км, то за приближенное значение его принимают среднее арифметическое этих двух чисел, т.е. их полусумму, тогда граничная абсолютная погрешность равна полуразности этих чисел. В данном случае х ≈ 12,5 (±0,2). Здесь граничная абсолютная погрешность равна 0,2 км, а граничная относительная

.

1. Предварительные замечания. Различают приближенные вычисления со строгим учетом погрешностей и без строгого учета. В менее ответственных вычислениях с приближенными числами пользуются вторым способом, основанным на так называемых правилах подсчета цифр.

В этих правилах используются понятия десятичных знаков, значащих цифр, точных и сомнительных цифр. Напомним, что десятичными знаками числа называют все его цифры, стоящие правее запятой. Например, числа 3,5 и 3,05 имеют соответственно один и два десятичных знака.

Значащими цифрами числа называются все его цифры, начиная с первой слева отличной от нуля, кроме нулей, стоящих в конце записи числа на месте отброшенных при округлении цифр (как уже отмечалось, эти нули обычно подчеркивают или пишут меньшими).

Примеры. В числе 3,5 - две значащих цифры, в числе 0,0307 - три значащих цифры. В числе 35000, полученном в результате округления до тысяч, две значащих цифры.

Если граница абсолютной погрешности приближенного числа равна половине единицы разряда последней его цифры, то все цифры этого числа называют точными. Если же эта граница больше половины единицы разряда последней цифры числа, то последняя цифра такого числа называется сомнительной.

Примеры. В числе 2,06 (±0,005) цифры 2, 0 точные, а 6 - сомнительная. В числе 2,06 (±0,01) цифры 2 и 0 точные, а 6 - сомнительная. В числе 35000, полученном в результате округления до тысяч, цифры 3 и 5 точные, а все три нуля - сомнительные.

Правила подсчета цифр тесно связаны с принципом А.Н. Крылова (1863-1945): Приближенное число следует писать так, чтобы в нем все значащие цифры, кроме последней, были верны и лишь последняя цифра была бы сомнительна и при том не более как на одну единицу. Например, если приближенное число записано так: х ≈ 3,52, то это значит, что оно дано с точностью до сотых, т.е. х ≈ 3,52(±0,01). Если же известно, что х ≈ 3,72 (±0,02), то, согласно принципу А.Н. Крылова, его надо писать так: х ≈ 3,7.

Преподаватель: Лихачева Е.С.
Учебный модуль 3.
ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ
ПРИБЛИЖЕННЫХ
ВЫЧИСЛЕНИЙ. ЭЛЕМЕНТЫ
СТАТИСТИКИ
Тема 3.1. Приближенные числа. Учет
погрешностей результатов операций над
приближенными числами

Источники приближенных чисел

Числа, с которыми мы встречаемся на практике, бывают двух
родов. Одни дают истинное значение величины, другие - только
приблизительное. Первые называют точными, вторые приближенными. Чаще всего удобно пользоваться
приближенным числом вместо точного, тем более, что во
многих случаях точное число вообще найти невозможно.
Так, если говорят, что в классе есть 29 учеников, то число 29 точное. Если же говорят, что расстояние от Москвы до Киева
равно 960 км, то здесь число 960 - приближенное, так как, с
одной стороны, наши измерительные инструменты не
абсолютно точны, с другой стороны, сами города имеют
некоторую протяженность.
Результат действий с приближенными числами есть тоже
приближенное число. Выполняя некоторые действия над
точными числами (деление, извлечение корня), можно также
получить приближенные числа.

Источники приближенных чисел

Теория приближенных вычислений позволяет:
1) зная степень точности данных, оценить
степень точности результатов;
2) брать данные с надлежащей степенью
точности, достаточной для обеспечения
требуемой точности результата;
3) рационализировать процесс вычисления,
освободив его от тех выкладок, которые не
окажут влияния на точность результата.

Округление

Одним из источников получения приближенных чисел является округление. Округляют как
приближенные, так и точные числа.
Округлением данного числа до некоторого его разряда называют замену его новым числом,
которое получается из данного путем отбрасывания всех его цифр, записанных правее цифры
этого разряда, или путем замены их нулями. Эти нули обычно подчеркивают или пишут их
меньшими. Для обеспечения наибольшей близости округленного числа к округляемому
следует пользоваться такими правилами: чтобы округлить число до единицы определенного
разряда, надо отбросить все цифры, стоящие после цифры этого разряда, а в целом числе
заменить их нулями. При этом учитывают следующее:
1) если первая (слева) из отбрасываемых цифр менее 5, то последнюю оставленную цифру не
изменяют (округление с недостатком);
2) если первая отбрасываемая цифра больше 5 или равна 5, то последнюю оставленную цифру
увеличивают на единицу (округление с избытком).
Покажем это на примерах. Округлить:
а) до десятых 12,34;
а) 12,34 ≈ 12,3;
б) до сотых 3,2465; 1038,785;
б) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;
в) до тысячных 3,4335.
в) 3,4335 ≈ 3,434.
г) до тысяч 12375; 320729.
г) 12375 ≈ 12 000; 320729 ≈ 321000.

Разность между точным числом и его
приближенным значением называется
абсолютной погрешностью приближенного
числа. Например, если точное число 1,214
округлить до десятых, получим
приближенное число 1,2. В данном случае
абсолютная погрешность приближенного
числа 1,2 равна 1,214 - 1,2, т.е. 0,014.

Абсолютная и относительная погрешности

Но в большинстве случаев точное значение рассматриваемой
величины неизвестно, а только приближенное. Тогда и абсолютная
погрешность неизвестна. В этих случаях указывают границу, которую
она не превышает. Это число называют граничной абсолютной
погрешностью. Говорят, что точное значение числа равно его
приближенному значению с погрешностью меньшей, чем граничная
погрешность. Например, число 23,71 есть приближенное значение
числа 23,7125 с точностью до 0,01, так как абсолютная погрешность
приближения равна 0,0025 и меньше 0,01. Здесь граничная
абсолютная погрешность равна 0,01*.
Граничную абсолютную погрешность приближенного
числа а обозначают символом Δ a . Запись
x ≈ a (±Δ a)
следует понимать так: точное значение величины x находится в
промежутке между числами а – Δ a и а + Δ а, которые называют
соответственно нижней и верхней границей х и обозначают НГ x ВГ х.
Например, если x ≈ 2,3 (±0,1), то 2,2< x < 2,4.

Абсолютная и относительная погрешности

Относительной погрешностью называется отношение
абсолютной погрешности к величине приближенного
числа. Отношение граничной абсолютной погрешности к
приближенному числу называют граничной
относительной погрешностью; обозначают ее так: .
Относительную и граничную относительную
погрешности принято выражать в процентах. Например,
если измерения показали, что расстояние х между
двумя пунктами больше 12,3 км, но меньше 12,7 км, то
за приближенное значение его принимают среднее
арифметическое этих двух чисел, т.е. их полусумму,
тогда граничная абсолютная погрешность равна
полуразности этих чисел. В данном случае х ≈ 12,5 (±0,2).
Здесь граничная абсолютная погрешность равна 0,2 км,
а граничная относительная

Точные значащие цифры

Если абсолютная погрешность приближенного числа не
превышает половины единицы последнего разряда, то все
значащие цифры данного числа называются точными.
Например, число 58,3 имеет 3 точные значащие цифры, если
Δ не превышает половины десятой доли, т.е.
Δ ≤ 0,05

Нули, стоящие перед первой значащей цифрой в счет точных
значащих цифр не идут.
Например, число 0,032 имеет 2 точные значащие цифры, если
Δ ≤ 0,0005.
Нули, стоящие между значащими цифрами идут в счет
значащих цифр.
Например, число 2,007 имеет 4 точные значащие цифры, если
Δ ≤ 0,0005.

10.

.
При округлении числа полученные нули в счет значащих цифр
не идут.
Например, число 4123, округленное до сотен, будет 4100. В
данном случае число 4100 имеет 2 точные значащие цифры,
т.к. полученные нули заменяют точные цифры 2 и 3.
Число 15,003, округленное до сотых долей получается 15,00.
Число 15,00 имеет 4 точные значащие цифры, т.к. данные нули
не заменяют точные значащие цифры.

11. Запись приближенных чисел

Для каждого приближенного числа
обязательно указывается его
погрешность. Запись вида
a = a* D (a *)
означает, что a* является приближенным
значением числа a с абсолютной
погрешностью D (a *). Если же a* является
приближенным значением числа a с
относительной погрешностью d (a *), то
пишут так: a = a * (1 d (a *)).

12. Правила приближенных вычислений и нахождения процентного соотношения

При сложении и вычитании приближенных
чисел окончательный результат округляют
так, чтобы он не имел значащих цифр в тех
разрядах, которые отсутствуют хотя бы в
одном из приближенных данных.
4,462
Например, при сложении чисел
2,38
следует сумму округлить до сотых
1,17273
1,0262
долей, приняв равной 9,04.
9,04093

13. Правила приближенных вычислений и нахождения процентного соотношения

Правила приближенных
вычислений и
.

При умножении следует округлять сомножители так,
чтобы каждый из них содержал столько значащих цифр,
сколько их имеет сомножитель с наименьшим числом
таких цифр.
Например, вместо вычисления выражения
3,723 2,4 5,1846
следует вычислять выражение 3,7 2,4 5,2
В окончательном результате следует оставлять такое же
количество значащих цифр, какое имеется в
сомножителях, после их округления.
В промежуточных результатах надо сохранять на одну
значащую цифру больше. Такое же правило
соблюдается и при делении приближенных чисел.

14. Правила приближенных вычислений и нахождения процентного соотношения

Правила приближенных
вычислений и
..
нахождения процентного соотношения
При возведении в квадрат или куб следует
в степени брать столько значащих цифр,
сколько их имеется в основании степени.
Например, 1,32 1,74
При извлечении квадратного или
кубического корня в результате нужно
брать столько значащих цифр, сколько их
имеется в подкоренном выражении.
Например, 1,17 10 1,08 10
2
8
4

15. Правила приближенных вычислений и нахождения процентного соотношения

Правила приближенных
вычислений и
..
нахождения процентного соотношения
При вычислении сложных выражений следует
применять указанные правила в соответствии с видом
производимых действий. Например,
(3,2 17,062) 3,7
5,1 2,007 103
Сомножитель 5,1 имеет наименьшее число значащих
цифр – две. Поэтому результаты всех промежуточных
вычислений должны округляться до трех значащих
цифр:
(3,2 17,062) 3,7 20,3 1,92
39,0
3,79 10 3
3
3
3
5,1 2,007 10
10,3 10
10,3 10
После округления результата до двух значащих цифр
окончательно получаем 3,8 10 3 .

16. Нахождение процентного соотношения

Например: Длина листа бумаги формата А4 равна (29.7 ± 0.1) см. А
расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно (650± 1) км.
Абсолютная погрешность в первом случае не превосходит одного
миллиметра, а во втором – одного километра. Вопрос, сравнить
точность этих измерений.
Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому, что
величина абсолютной погрешности не превышает 1 мм. То вы
ошибаетесь. Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведем
некоторые рассуждения.
При измерении длины листа абсолютная погрешность не превышает
0.1 см на 29.7 см, то есть в процентном соотношении это составляет
0.1/29.7 *100% = 0.33% измеряемой величины.
Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы
абсолютная погрешность не превышает 1 км на 650 км, что в
процентном соотношении составляет 1/650 *100% = 0.15%
измеряемой величины. Видим, что расстояние между городами
измерено точнее, чем длинна листа формата А4.

17. Практическое занятие

решение практических задач,
графическое представление результатов
измерения величин.

18. Задача 1

Округлить сомнительные цифры приближенного
числа x с относительной погрешностью d, оставив в его
записи только верные цифры. x = 42.221, d = 0.5%.
Решение:
1) Найдем количество верных цифр числа x:
Отсюда n = 3
2) Округляем x до трех цифр
x = 42.2

19. Задача 2

Записать формулу для оценки абсолютной
погрешностей функции трех переменных:
, если
Решение:

20. Графическое представление результатов измерения величин

Графики, наряду с таблицами, являются наиболее распространенной
формой представления данных эксперимента. Основным достоинством
графического способа является его наглядность. В этом случае весь
экспериментальный материал легко обозрим, график позволяет понять
основные черты наблюдаемой зависимости, обнаружить, какие
экспериментальные точки выпадают из общей серии, как они
согласуются с теоретическими данными и т, д. Кроме этого, графики
строят для того, чтобы определить некоторые эмпирические величины.
Например, в случае линейной зависимости - наклон прямой и отрезок,
отсекаемый ею на оси ординат. Наконец, графики нужны для
установления эмпирических соотношений между двумя величинами
(градуировочные кривые).
При построении графиков по оси абсцисс откладывают независимую
переменную, т.е. величину, задаваемую экспериментатором, а по оси
ординат - величину, которая при этом определяется.

21. Построение графиков регламентируется следующими правилами:

1. Графики выполняются только на специальной
прокалиброванной бумаге (миллиметровой логарифмической
или полулогарифмической).
2. Масштаб выбирается таким образом, чтобы наносимые
экспериментальные точки не сливались друг с другом, В
противном случае информативность графика резко падает.
Масштаб должен быть простым: одной клетке миллиметровой
бумаги может соответствовать 0.1, 0.2, 0.5. 1, 2, 5, 10 и т. д.
единиц измеряемой величины. Других масштабов (2, 5, 3, 4, 7 и
т. д.) следует избегать, поскольку в этом случае при нанесении
точек придется производить дополнительные арифметические
операции в уме.
3. Единицы измерения указываются на осях координат вместе с
символом измеряемой величины. При этом десятичный
множитель обычно относят к единице измерения.

22.

4. Через экспериментальные точки всегда проводят самую простую
(плавную) кривую, совместимую с этими точками. Кривым не следует
придавать никаких изгибов, если в пределах ошибок измерений
экспериментальным данным можно удовлетворить без этого. При этом
число экспериментальных точек, лежащих на графике выше и ниже
проведенной кривой, должно быть примерно одинаковым.
5. В ряде случаев на графике необходимо указывать ошибки отдельных
измерений (как правило при сравнении с теоретической зависимостью или
когда они неодинаковы для различных точек). При этом результат каждого
измерения изображается не в виде точки, а крестиком, половина длины
которою по горизонтали равна погрешности независимой переменной, а
вертикальный полуразмер - погрешности исследуемой величины. В том
случае, если одна из ошибок из-за малости не может быть изображена
графически, результат представляется черточками или вытянутыми на
величину ± Δх в том направлении, где погрешность существенна.
6. Всю работу по построению графиков необходимо сначала проделать
карандашом, поскольку часто непосредственно в ходе построения приходится
вносить дополнительные коррективы.

23. Самостоятельная работа:

анализ результатов измерения величин с
допустимой погрешностью, представление
их графическим способом

Раздел 1. Приближенные числа и действия над ними

1.1 Виды погрешностей при приближенных вычислениях

Точное решение некоторых математических задач невозможно получить классическими методами, или это решение может быть получено в таком сложном виде, что неприемлемо для дальнейшего практического использования. Кроме того, точное решение задачи может потребовать очень большого количества (от нескольких десятков до многих миллиардов) действий. В таких случаях прибегают к приближенным и численным методам решения.

Появление компьютеров значительно расширило область применения этих методов. В настоящее время трудно себе представить инженера, не владеющего компьютером и методами приближённых вычислений.

Заметим, что любой компьютер способен запоминать большие, но конечные массивы чисел и производить над ними арифметические операции и сравнения с большой, но конечной скоростью. То есть машина способна выполнять очень большое, но конечное число операций. Поэтому при работе на компьютере можно использовать только те математические модели, которые описываются конечным набором чисел, и использовать только конечные последовательности арифметических действий.

Математическими моделями различных явлений служат функции, производные, интегралы, дифференциальные уравнения и т.п. При работе на компьютере эти исходные модели следует заменить такими, которые описываются конечными наборами чисел с указанием конечной последовательности действий для их обработки. Для этого функцию заменяют таблицей, определённый интеграл — суммой и т.д. Кроме того, вычислительная машина обладает конечной памятью и может оперировать с числами конечной длины, поэтому промежуточные результаты округляются. В результате этого даже точный метод с конечным числом действий становится приближенным.

Таким образом, решение, полученное численным методом, является приближенным.

Причинами появления погрешностей являются:

• Несоответствие математической модели изучаемому реальному явлению
• Погрешность исходных данных.
• Погрешность метода решения.
• Погрешности округлений в арифметических и других действиях над числами.

Погрешность решения, вызванная первыми двумя причинами, называется неустранимой — она не зависит от математика.

Погрешность метода возникает потому, что численным методом, как правило, решается не исходная задача, а более простая. Кроме того, обычно численный метод основан на бесконечном процессе, который приходится обрывать на некотором шаге.

Большинство численных методов зависит от одного или от нескольких параметров. Выбор параметров метода позволяет регулировать погрешность метода.

Погрешность округлений не должна быть существенно больше погрешности метода. А погрешность метода целесообразно выбирать в 2-5 раз меньше неустранимой погрешности.

1.2 Приближенные числа

На практике часто приходится иметь дело с числами, которые выражают истинную величину не точно, а приблизительно. Такие числа называются приближенными .

Обозначим точное числовое значение некоторой величины a , приближённое числовое значение этой же величины a * . Тогда a » a * .

Заменяя точное число a приближенным числом a * , мы совершаем ошибку (погрешность).

Определение 1.1. Абсолютной погрешностью приближенного числа a * называется абсолютная величина разности между этим числом и его точным значением | a - a * | .

Поскольку точное значение величины обычно бывает неизвестно, то невозможно вычислить и абсолютную погрешность. Но можно указать положительное число D (a *) , удовлетворяющее неравенству:

Любое число d (a *) , удовлетворяющее неравенству

Заметим, что чисел, удовлетворяющих неравенствам (1.2) и (1.3) множество. Поэтому величина предельной погрешности является не вполне определённой.

На практике обычно берётся по возможности меньшее значение предельной погрешности. Для каждого приближенного числа обязательно определяется его предельная погрешность (абсолютная или относительная). Предельная абсолютная погрешность позволяет установить пределы, в которых лежит число a , т.е.

Предельная относительная погрешность характеризует точность вычислений или измерений.

Примеры.

1.2.1 . При решении задач вместо точного числа p = 3,14159265... мы используем его приближенное значение 3,14 и совершаем ошибку:

p - 3,14 > 0,00159265

1.2.2 . При измерении длины пути получен результат 25,2 км с точностью до 2м . Вычислить предельную абсолютную и предельную относительную погрешности.

Решение . В нашем случае предельная абсолютная погрешность равна D = 0,002 км, а предельная относительная погрешность

Аналогично, вычисляем

означает, что a * является приближенным значением числа a с абсолютной погрешностью D (a *) . Если же a * является приближенным значением числа a с относительной погрешностью d (a *), то пишут так:

1.4 Значащие цифры, верные и сомнительные цифры

На практике используются различные приёмы, позволяющие уже только по записи самого приближенного числа судить о его погрешности.

Запись приближенных чисел и абсолютных погрешностей подчиняется определённым правилам.

В десятичной записи числа значащей цифрой называется любая цифра не равная нулю. Нуль считается значащей цифрой, если он расположен между значащими цифрами или стоит правее всех значащих

Пример 1.3.1. Приближенное число 0,38 имеет 2 значащих цифры, 0,308 — три, 0,3080 — четыре, 0,00308 — три. Значащими цифрами являются подчёркнутые цифры.

Определение 1.3. Значащая цифра называется верной в широком смысле если абсолютная погрешность числа не превосходит одной единицы разряда, соответствующего этой цифре.
Значащая цифра называется верной в узком смысле если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.
В противном случае цифра считается сомнительной .

Если приближенное число записывается без указания его абсолютной (предельной абсолютной) погрешности, то выписываются только его верные цифры. При этом верные нули на правом конце числа не отбрасывают. Числа 0,25 и 0,250 как приближенные различны. Если же мы пользуемся записями вида (1.4) или (1.5), то числа в правых частях этих равенств должны быть записаны с одинаковым количеством знаков после запятой.

Абсолютную или относительную погрешность принято записывать в виде числа, содержащего одну или две значащие цифры. При этом округление производится с избытком.

Может оказаться так, что у приближенного числа в его целой части значащих цифр больше, чем верных знаков. В этом случае используется запись в нормализованном виде a * = m ·10 n , при этом число m ≤ 1 должно содержать только верные цифры. В нормализованной записи число m называется мантисса , n —порядок числа

Заметим, что предельная абсолютная погрешность определяется числом десятичных знаков после запятой: чем меньше десятичных знаков после запятой, тем больше D (a *) .

Предельная относительная погрешность определяется числом значащих цифр: чем меньше значащих цифр, тем больше d (a *) .

1.5 Округление

Для записи приближенных чисел с верными цифрами применяется округление .

Точные числа также требуется округлить, если количество используемых разрядов ограничено.

Округлением (по дополнению) числа называется запись этого числа с меньшим количеством разрядов по следующему правилу: если первая отбрасываемая цифра больше или равна 5, то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу. При округлении чисел возникает погрешность, которую также надо учитывать.

Погрешность округления по дополнению не превосходит по абсолютной величине половины единицы младшего оставляемого разряда. При вычислении результирующей погрешности, погрешность округления надо прибавлять к первоначальной абсолютной погрешности числа.

Пример 1.3.2. Число a * = 413287,51 имеет относительную погрешность d (a *) = 0,01 . Из (1.3) следует, что D (a *) = | a * | d (a *) .

Поэтому абсолютная погрешность данного числа равна 4133. Это означает, что четвёртый разряд числа a * уже может содержать ошибку. Следовательно, верными являются только первые две цифры числа. Тогда в нормализованном виде это число записывается так: a * = 0.41 ·10 6 .

Рассуждая аналогично, приближенное число b * = 0,0794 при d (b *) = 2% запишем в нормализованном виде b * = 0.8 ·10 - 1 .

Заметим, что здесь нам потребовалось округлить число.

При выполнении арифметических действий с приближенными числами возникают две взаимообратные задачи:

1. По известным погрешностям входных данных оценить погрешность результата.

2. Определить точность исходных данных, обеспечивающую заданную точность результата.

Кроме того, при работе с приближенными числами необходимо согласовывать точность различных входных данных, чтобы не тратить время на выписывание ненужных и неверных цифр.

В процессе вычислений также необходимо следить за точностью промежуточных результатов.

До начала выполнения арифметических действий применяется округление, чтобы все числа, участвующие в этих действиях, были записаны с одинаковым количеством десятичных знаков. Количество оставляемых десятичных знаков определяется наименьшим числом верных цифр у исходных данных.

При сложении и вычитании приближенных чисел, имеющих одинаковое число верных цифр после запятой, округление не производится.

При сложении и вычитании приближенных чисел с различным числом верных цифр после запятой результат округляется по наименьшему числу верных цифр после запятой у исходных данных.

При умножении и делении приближенных чисел с различным числом верных цифр производится округление результата по минимальному числу верных цифр у исходных данных.

1.6 Погрешности арифметических операций

Пусть a * и b * - приближенные числа, тогда их сумма c * = a * + b * также является приближенным числом.

Если обозначить абсолютные погрешности слагаемых D (a *) и D (b *) , соответственно, то абсолютная погрешность числа c * определяется формулой

D (c *) = D (a *) + D (b *).

Следовательно, при сложении двух приближенных чисел их предельные абсолютные погрешности складывают.

Это правило справедливо для любого конечного числа слагаемых. Кроме того, формула (1.6) справедлива и для разности двух чисел.

Действительно, разность двух чисел можно представить в виде суммы

a * - b * = a * + ( - b *),

а абсолютная погрешность числа (- b *) равна абсолютной погрешности числа b * .

Замечание При вычитании двух чисел одного знака относительная погрешность разности может оказаться значительно больше относительной погрешности каждого слагаемого. Особенно большая потеря точности происходит при вычитании близких между собой чисел.

Пример 1.4.1 . Пусть требуется найти разность 61,32 - 61,31 .

Абсолютные погрешности данных чисел, соответственно, равны D 1 = 0,01 и D 2 = 0,01. Найдём теперь относительные погрешности этих чисел:

При вычитании получится число 0,01 (замечаем, что произошла потеря трёх значащих цифр). Его абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых D 1 + D 2 = 0,02 .

Тогда относительная погрешность результата составляет

d = 0,02 0,01 = 2.

Сравнивая погрешности исходных данных и результата, обнаруживаем резкое возрастание относительной погрешности.

Из примера 1.4.1. следует, что надо стараться избегать вычитания близких по абсолютной величине чисел. Иногда этого можно добиться путём преобразования расчётной формулы. Если же невозможно избежать такого вычитания, то надо увеличить точность промежуточных вычислений с учётом потери значащих цифр.

При умножении и делении двух приближенных чисел a * и b * погрешности определяются по формулам:

D (a * b *) = | b * | D (a *) + | a * | D (b *),

d (a * b *) = d (a *) + d (b *),

(1.7)

D (a * / b * ) = | b * |D (a *) + | a * |D (b *) | b * | 2

d (a * / b *) = d (a *) + d (b *).

Таким образом, при умножении и делении приближенных чисел складывают их предельные относительные погрешности.

Замечание . Если абсолютная погрешность приближенного числа Δ (a *) не превышает единицы разряда, выраженного n -ой значащей цифрой в десятичной записи этого числа, для предельной относительной погрешности верно неравенство:

δ(a *) ≤ 1 / k 10 n - 1

где k - первая значащая цифра числа a * .

Если абсолютная погрешность приближенного числа D (a *) не превышает половины единицы разряда, выраженного n -ой значащей цифрой в десятичной записи этого числа, для предельной относительной погрешности верно неравенство:

δ(a *) ≤ 1 / 2 k 10 n − 1

где k - первая значащая цифра числа a * .

В последнем случае справедливо и обратное утверждение: если

d (a *) Ј 1/ 2 (k + 1)10 n - 1 ,

то тогда a * является приближенным числом, имеющим n верных знаков.

1.7 Погрешность функции

Пусть задана непрерывно дифференцируемая в области G функция

u = f (x 1 , x 2 , ј , x n).

Оценка погрешности приближенного вычисления значения функции заменяется оценкой модуля ее отклонения от точного значения, вызванное ошибками аргументов.

При этом отклонение функции заменяется ее полным дифференциалом, в котором прирашения аргументов заменяются их абсолютными погрешностями. Тогда предельная абсолютная погрешность значения функции определяется соотношением

Для предельной относительной погрешности имеет место равенство

При помощи формул (1.11), можно определить точность аргументов, обеспечивающую заданную точность значения функции.

Пример 1.5.1. Требуется измерить с точностью d = 1% площадь боковой поверхности усечённого конуса, радиусы оснований которого r 1 » 2м, r 2 » 1м , а образующая l » 5м .
С какой абсолютной погрешностью нужно измерить радиусы и образующую и со сколькими знаками, верными в широком смысле, нужно взять число p ?

Если D (a * ) не превышает единицы разряда, выраженного n -ой значащей цифрой, то a * называется числом, имеющим n верных знаков в широком смысле .)

Решение . Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле:

S = πl (r 1 + r 2).

Таким образом, имеем функцию четырёх аргументов S = S (p , l , r 1 , r 2) .
Найдём частные производные и разделим на S .

Из формул (1.11) выразим абсолютные погрешности аргументов:

следует, что число p следует взять с количеством знаков n = 3 .

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Дано приближенное число a * = 1,0754327 и его предельная абсолютная погрешность D (a *) = 0,0005 .

Округлите это число, оставив верные цифры. Учтите погрешность округления.

Портняжной сантиметровой лентой измеряют длину окружности меридиана, пушечного ядра Царь-пушки и теннисного мяча. Измерение какой величины даст большую относительную погрешность?

При измерении радиуса круга с точностью до 0,5 см получилось число 12 см . Найдите абсолютную и относительную погрешности площади круга.

Выполните арифметические действия над приближенными числами, все цифры которых верны:

130,6 + 0,255 + 1,15224 + 41,84 + 11,8216;

35,2 ·1,748;