المهمة هي: إجراء دراسة كاملة للوظيفة وبناء رسمها البياني.
لقد مر كل طالب بمهام مماثلة.
ما يلي يفترض معرفة جيدة. نوصي بالرجوع إلى هذا القسم إذا كان لديك أي أسئلة.
تتكون خوارزمية البحث عن الوظائف من الخطوات التالية.
- أولًا ، نجد المشتق ؛
- ثانيًا ، نجد النقاط الحرجة ؛
- ثالثًا ، نقسم مجال التعريف بالنقاط الحرجة إلى فترات ؛
- رابعًا ، نحدد علامة المشتق في كل فترة. ستتوافق علامة الجمع مع فاصل الزيادة ، وعلامة الطرح - إلى فاصل النقصان.
- أولًا ، نجد المشتق الثاني ؛
- ثانيًا ، نجد أصفار البسط والمقام للمشتق الثاني ؛
- ثالثًا ، نقسم مجال التعريف بالنقاط التي تم الحصول عليها إلى فترات ؛
- رابعًا ، نحدد علامة المشتق الثاني في كل فترة. ستتوافق علامة الجمع مع فترة التقعر ، وعلامة الطرح - إلى الفترة المحدبة.
إيجاد مجال الوظيفة.
هذه خطوة مهمة للغاية في دراسة الوظيفة ، حيث سيتم تنفيذ جميع الإجراءات الإضافية في مجال التعريف.
في مثالنا ، نحتاج إلى إيجاد أصفار المقام واستبعادهم من منطقة الأعداد الحقيقية.
(في أمثلة أخرى ، قد تكون هناك جذور ولوغاريتمات وما إلى ذلك. تذكر أنه في هذه الحالات يتم البحث في المجال على النحو التالي:
للحصول على جذر درجة زوجية ، على سبيل المثال ، - تم العثور على مجال التعريف من عدم المساواة ؛
للوغاريتم - تم العثور على مجال التعريف من عدم المساواة).
التحقيق في سلوك وظيفة على حدود مجال التعريف ، وإيجاد خطوط مقاربة عمودية.
على حدود مجال التعريف ، فإن الوظيفة لها الخطوط المقاربة الرأسية، إذا كانت في هذه النقاط الحدودية لانهائية.
في مثالنا ، نقاط حدود مجال التعريف هي.
نحقق في سلوك الوظيفة عند الاقتراب من هذه النقاط من اليسار واليمين ، والتي نجد لها حدودًا من جانب واحد: 
نظرًا لأن الحدود أحادية الجانب غير محدودة ، فإن الخطوط هي الخطوط المقاربة العمودية للرسم البياني.
التحقيق في وظيفة التكافؤ الزوجي أو الفردي.
الوظيفة حتى، لو . يشير تكافؤ الوظيفة إلى تناظر الرسم البياني حول المحور y.
الوظيفة غريب، لو 
. تشير غرابة الوظيفة إلى تناظر الرسم البياني فيما يتعلق بالأصل.
إذا لم يتم استيفاء أي من أوجه المساواة ، فعندئذٍ لدينا وظيفة ذات شكل عام.
في مثالنا ، المساواة صحيحة ، وبالتالي ، فإن وظيفتنا متساوية. سنأخذ ذلك في الاعتبار عند رسم الرسم البياني - سيكون متماثلًا حول المحور y.
إيجاد فترات الزيادة والنقصان للوظائف والنقاط القصوى.
فترات الزيادة والنقصان هي حلول للمتباينات وعلى التوالي.
النقاط التي يختفي فيها المشتق ثابت.
النقاط الحرجة للوظيفةقم باستدعاء النقاط الداخلية لمجال التعريف حيث يكون مشتق الوظيفة مساويًا للصفر أو غير موجود.
تعليق(ما إذا كان سيتم تضمين النقاط الحرجة في فترات الزيادة والنقصان).
سنقوم بتضمين النقاط الحرجة في فترات تصاعدي وتنازلي إذا كانت تنتمي إلى مجال الوظيفة.
هكذا، لتحديد فترات الزيادة والنقصان للدالة
يذهب!
نجد المشتق في مجال التعريف (في حالة الصعوبات ، انظر القسم). 
نجد النقاط الحرجة ، لهذا:
نضع هذه النقاط على المحور العددي ونحدد علامة المشتق داخل كل فترة ناتجة. بدلاً من ذلك ، يمكنك أخذ أي نقطة في الفترة وحساب قيمة المشتق عند تلك النقطة. إذا كانت القيمة موجبة ، فضع علامة زائد فوق هذه الفترة وانتقل إلى القيمة التالية ، إذا كانت سالبة ، ثم ضع علامة ناقص ، إلخ. على سبيل المثال ، 
لذلك نضع علامة موجب على الفترة الأولى على اليسار.
نستنتج:
من الناحية التخطيطية ، تشير الإيجابيات / السالب إلى الفترات التي يكون فيها المشتق موجبًا / سالبًا. تظهر الأسهم الصاعدة / الهابطة الاتجاه التصاعدي / التنازلي.
النقاط القصوى للدالةهي النقاط التي يتم فيها تعريف الوظيفة والمرور من خلالها علامة التغييرات المشتقة.
في مثالنا ، النقطة القصوى هي x = 0. قيمة الوظيفة في هذه المرحلة هي 
. بما أن تغيير المشتق يوقع من موجب إلى سالب عند المرور بالنقطة x = 0 ، فإن (0 ؛ 0) هي نقطة عظمى محلية. (إذا تغيرت علامة المشتق من سالب إلى موجب ، فسيكون لدينا نقطة صغرى محلية).
إيجاد فترات تحدب وتقعر دالة ونقاط انعطاف.
تم العثور على فترات التقعر والتحدب للدالة من خلال حل المتباينات وعلى التوالي.
في بعض الأحيان يسمى التقعر التحدب الهابط ، والتحدب يسمى التحدب الصاعد.
هنا أيضًا ، الملاحظات المشابهة لتلك الواردة في الفقرة حول فترات الزيادة والنقصان صحيحة.
هكذا، لتحديد مدى التقعر والتحدب للوظيفة:
يذهب!
نجد المشتق الثاني في مجال التعريف. 
في مثالنا ، لا توجد أصفار البسط والمقام الأصفار.
نضع هذه النقاط على المحور الحقيقي ونحدد علامة المشتق الثاني داخل كل فترة ناتجة. 
نستنتج:
النقطة تسمى نقطة الأنحراف، إذا كان هناك ظل عند نقطة معينة للرسم البياني للدالة والمشتق الثاني للدالة يتغير عند المرور.
بعبارة أخرى ، يمكن أن تكون نقاط الانعطاف نقاطًا يتم من خلالها تسجيل التغييرات المشتقة الثانية ، عند النقاط نفسها إما تساوي صفرًا أو غير موجودة ، ولكن يتم تضمين هذه النقاط في مجال الوظيفة.
في مثالنا ، لا توجد نقاط انعطاف ، نظرًا لأن المشتق الثاني يشير إلى التغييرات عند المرور عبر النقاط ، ولا يتم تضمينها في مجال الوظيفة.
إيجاد الخطوط المقاربة الأفقية والمائلة.
يجب البحث عن الخطوط المقاربة الأفقية أو المائلة فقط عندما يتم تحديد الوظيفة عند اللانهاية.
الخطوط المقاربة المائلةيتم البحث عنها في شكل خطوط مستقيمة وأين و 
.
لو k = 0 و b لا تساوي اللانهاية ، ثم يصبح الخط المقارب المائل أفقي.
من هي هذه الخطوط المقاربة على أي حال؟
هذه هي الخطوط التي يقترب منها الرسم البياني للوظيفة عند اللانهاية. وبالتالي ، فهي تساعد كثيرًا عند تخطيط دالة.
إذا لم تكن هناك خطوط مقاربة أفقية أو مائلة ، ولكن تم تحديد الوظيفة عند زائد اللانهاية و / أو ناقص اللانهاية ، فيجب حساب حد الوظيفة عند زائد اللانهاية و / أو ناقص اللانهاية للحصول على فكرة عن سلوك الرسم البياني للوظيفة.
على سبيل المثال لدينا 
هو الخط المقارب الأفقي.
بهذا تنتهي دراسة الوظيفة ، ننتقل إلى التخطيط.
نحسب قيم الدالة عند النقاط الوسيطة.
للحصول على رسم أكثر دقة ، نوصي بإيجاد قيم دالة متعددة في نقاط وسيطة (أي في أي نقطة من منطقة تعريف الوظيفة).
على سبيل المثال ، لنجد قيم الدالة عند النقاط x = -2 ، x = -1 ، x = -3 / 4 ، x = -1 / 4. نظرًا لتكافؤ الوظيفة ، ستتطابق هذه القيم مع القيم عند النقاط x = 2 ، x = 1 ، x = 3/4 ، x = 1/4. 
بناء الرسم البياني.
أولاً ، نبني الخطوط المقاربة ، ونرسم نقاط الحدود القصوى والصغرى المحلية للوظيفة ، ونقاط الانعطاف والنقاط الوسيطة. لتسهيل التخطيط ، يمكنك أيضًا تطبيق تعيين تخطيطي لفترات الزيادة والنقصان والتحدب والتقعر ، ولم يكن عبثًا أن درسنا الوظيفة =). 
يبقى رسم خطوط الرسم البياني من خلال النقاط المحددة ، والاقتراب من الخطوط المقاربة واتباع الأسهم. 
مع هذه التحفة الفنية الجميلة ، اكتملت مهمة التحقيق الكامل للوظيفة والتخطيط.
يمكن بناء الرسوم البيانية لبعض الوظائف الأولية باستخدام الرسوم البيانية للوظائف الأولية الأساسية.
ريشيبنيك كوزنتسوف.
الثالث الرسوم البيانية
المهمة 7. قم بإجراء دراسة كاملة للوظيفة وبناء الرسم البياني الخاص بها.
& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp قبل البدء في تنزيل خياراتك ، حاول حل المشكلة وفقًا للعينة أدناه للخيار 3. تمت أرشفة بعض الخيارات بتنسيق .rar
& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7.3 إجراء دراسة كاملة للوظيفة ورسمها
حل.
& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 1) النطاق: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp or & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp ie & nbsp & nbsp 
& nbsp & nbsp.
.
هكذا: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.
& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 2) لا توجد نقاط تقاطع مع محور الثور. في الواقع ، المعادلة & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp ليس لها حلول.
لا توجد نقاط تقاطع مع محور Oy لأن & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.
& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 3) الوظيفة ليست زوجية ولا فردية. لا يوجد تناظر حول المحور y. لا يوجد تناظر حول الأصل أيضًا. لأن 
.
نرى ذلك & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.
& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 4) الوظيفة مستمرة في المجال
.
; 
. 
; 
.
لذلك ، فإن النقطة & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp هي نقطة انقطاع من النوع الثاني (انقطاع لا نهائي).
5) الخطوط المقاربة العمودية:& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp
ابحث عن الخط المقارب المائل & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp. هنا
;
.
لذلك ، لدينا خط مقارب أفقي: ص = 0. لا توجد خطوط مقاربة مائلة.
& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 6) أوجد المشتق الأول. المشتق الأول: 
.
وهذا هو السبب 
.
لنجد النقاط الثابتة حيث المشتقة تساوي صفرًا ، أي
.
& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7) أوجد المشتق الثاني. المشتق الثاني: 
.
وهذا سهل التحقق منذ ذلك الحين
عند إنشاء الرسوم البيانية للوظائف ، من المفيد الالتزام بالخطة التالية:
1. ابحث عن مجال الوظيفة وحدد نقاط التوقف ، إن وجدت.
2. حدد ما إذا كانت الوظيفة زوجية أم فردية أم لا. إذا كانت الوظيفة زوجية أو فردية ، يكفي مراعاة قيمها لـ x> 0، ثم بشكل متماثل حول محور OY أو أصل الإحداثيات ، قم باستعادته وللقيم x<0 .
3. فحص وظيفة دورية. إذا كانت الوظيفة دورية ، فيكفي اعتبارها في فترة واحدة.
4. ابحث عن نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة مع محاور الإحداثيات (إن أمكن)
5. إجراء دراسة للوظيفة إلى أقصى حد وإيجاد فترات الزيادة والنقصان للوظيفة.
6. أوجد نقاط انعطاف المنحنى وفترات التحدب وتقعر الوظيفة.
7. أوجد الخطوط المقاربة للرسم البياني للوظيفة.
8. باستخدام نتائج الخطوات من 1 إلى 7 ، قم بإنشاء رسم بياني للدالة. في بعض الأحيان ، لمزيد من الدقة ، توجد عدة نقاط إضافية ؛ يتم حساب إحداثياتها باستخدام معادلة المنحنى.
مثال. اكتشف الوظيفة ص = س 3 -3 سوبناء رسم بياني.
1) يتم تحديد الوظيفة في الفاصل الزمني (-∞ ؛ + ∞). لا توجد نقاط فاصل.
2) الوظيفة غريبة لأن f (-x) = -x 3 -3 (-x) = -x 3 + 3x = -f (x)لذلك ، فهو متماثل فيما يتعلق بالأصل.
3) الوظيفة ليست دورية.
4) نقاط تقاطع الرسم البياني مع محاور الإحداثيات: x 3 -3x \ u003d 0 ، x \ u003d ، x \ u003d - ، x \ u003d 0 ،أولئك. يتقاطع الرسم البياني للوظيفة مع محاور الإحداثيات عند النقاط: ( ; 0 ), (0; 0 ), (-; 0 ).
5) أوجد نقاط الحد الأقصى المحتمل: ص ′ \ u003d 3 س 2-3; 3 × 2-3 = 0 ؛ س =-1؛ س = 1. سيتم تقسيم منطقة تعريف الوظيفة إلى فترات زمنية: (-؛ -1) ، (-1 ؛ 1) ، (1 ؛ +). أوجد علامات المشتق في كل فترة ناتجة:
على الفاصل الزمني (-؛ -1) ص ′> 0 -يزيد من وظيفة
في الفاصل الزمني (-1 ؛ 1) ذ ′<0 – وظيفة تتناقص
في الفترة الزمنية (1 ؛ +) ص ′> 0 -الوظيفة تتزايد. نقطة س =-1 - الحد الأقصى للنقطة ؛ س = 1 - الحد الأدنى للنقطة.
6) ابحث عن نقاط الانعطاف: ص ′ ′ = 6 س ؛ 6 س = 0 ؛ س = 0. نقطة س = 0يقسم مجال التعريف إلى فترات (-؛ 0) ، (0 ؛ + ∞). أوجد علامات المشتق الثاني في كل فترة ناتجة:
في الفاصل الزمني (-∞ ؛ 0) ذ ′ ′<0 – دالة محدبة
في الفترة الزمنية (0 ؛ +) ص ′ ′> 0 -دالة مقعرة. س = 0- نقطة الأنحراف.
7) الرسم البياني ليس له خط مقارب
8) لنقم ببناء رسم بياني للوظيفة:
مثال.تحقق من الدالة وارسم الرسم البياني الخاص بها.
1) مجال الوظيفة هو الفواصل الزمنية (- ¥ ؛ -1) È (-1 ؛ 1) È (1 ؛ ¥). منطقة القيمة من هذه الوظيفة هو الفاصل الزمني (- ¥ ؛ ¥).
نقاط فاصل الدالة هي النقاط س = 1 ، س = -1.
2) الوظيفة غريبة لأن .
3) الوظيفة ليست دورية.
4) يتقاطع الرسم البياني مع محاور الإحداثيات عند النقطة (0 ؛ 0).
5) البحث عن النقاط الحرجة.
نقاط حرجة: x = 0؛ x = -; x = ; x = -1; x = 1.
أوجد فترات الزيادة والنقصان في الدالة. للقيام بذلك ، نحدد علامات مشتق الوظيفة على فترات.
-¥ < x< -, ذ ¢> 0 ، تتزايد الوظيفة
-< x < -1, ذ¢ < 0, функция убывает
1 < x < 0, ذ¢ < 0, функция убывает
0 < x < 1, ذ¢ < 0, функция убывает
1 < x < , ذ¢ < 0, функция убывает
< x < ¥, ذ¢> 0 ، تتزايد الوظيفة
يمكن ملاحظة أن النقطة X= - هي النقطة القصوى ، والنقطة X= هي النقطة الدنيا. قيم الدالة في هذه النقاط هي 3/2 و -3 / 2 على التوالي.
6) أوجد المشتق الثاني للدالة
معادلة خط مقارب مائل: ص = س.
8) لنقم ببناء رسم بياني للدالة.
إذا كان من الضروري في المهمة إجراء دراسة كاملة للوظيفة f (x) = x 2 4 x 2-1 مع بناء الرسم البياني الخاص بها ، فسننظر في هذا المبدأ بالتفصيل.
لحل مشكلة من هذا النوع ، يجب على المرء استخدام الخصائص والرسوم البيانية للوظائف الأولية الرئيسية. تتضمن خوارزمية البحث الخطوات التالية:
البحث عن مجال التعريف
بما أن البحث يتم في مجال الوظيفة ، فمن الضروري البدء بهذه الخطوة.
مثال 1
يتضمن المثال المعطى إيجاد أصفار المقام لاستبعادهم من DPV.
4 × 2-1 = 0 س = ± 1 2 × - ∞ ؛ - 1 2 ∪ - 1 2 ؛ 1 2 ∪ 1 2 ؛ + ∞
نتيجة لذلك ، يمكنك الحصول على الجذور واللوغاريتمات وما إلى ذلك. ثم يمكن البحث عن جذر درجة متساوية من النوع g (x) 4 بواسطة المتباينة g (x) ≥ 0 ، للوغاريتم log a g (x) بواسطة المتباينة g (x)> 0.
التحقيق في حدود المنطقة المفتوحة وإيجاد الخطوط المقاربة العمودية
توجد خطوط مقاربة عمودية على حدود الوظيفة ، عندما تكون الحدود أحادية الجانب في مثل هذه النقاط لانهائية.
مثال 2
على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك النقاط الحدودية التي تساوي x = ± 1 2.
ثم من الضروري دراسة الوظيفة لإيجاد الحد من جانب واحد. ثم نحصل على ذلك: lim x → - 1 2-0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2-1 = = lim x → - 1 2-0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 x 2 → (1) x 1 4 (- 2) (+ 0) = - ليم x → 1 2-0 f (x) = lim x → 1 2-0 x 2 4 x 2-1 = = lim x → 1 2-0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 2 - 1 2 = 0 x ) = 1 4 (+ 0) 2 = +
يوضح هذا أن الحدود أحادية الجانب لانهائية ، مما يعني أن الخطوط x = ± 1 2 هي الخطوط المقاربة الرأسية للرسم البياني.
التحقيق في الوظيفة الزوجية أو الفردية
عندما يتم استيفاء الشرط y (- x) = y (x) ، تعتبر الوظيفة زوجية. يشير هذا إلى أن الرسم البياني يقع بشكل متماثل بالنسبة إلى O y. عندما يتم استيفاء الشرط y (- x) = - y (x) ، تعتبر الوظيفة فردية. هذا يعني أن التناظر ينطبق على أصل الإحداثيات. إذا فشلت متباينة واحدة على الأقل ، نحصل على دالة ذات شكل عام.
يشير تحقيق المساواة y (- x) = y (x) إلى أن الوظيفة زوجية. عند البناء ، من الضروري مراعاة أنه سيكون هناك تناظر فيما يتعلق بـ O y.
لحل المتباينة ، يتم استخدام فترات الزيادة والنقصان مع الشرطين f "(x) ≥ 0 و f" (x) ≤ 0 على التوالي.
التعريف 1
نقاط ثابتةهي النقاط التي تحول المشتق إلى الصفر.
نقاط حرجةهي نقاط داخلية من المجال حيث يكون مشتق الوظيفة مساويًا للصفر أو غير موجود.
عند اتخاذ القرار ، يجب مراعاة النقاط التالية:
- بالنسبة للفترات الحالية للزيادة والنقصان في المتباينة بالشكل f "(x)> 0 ، لا يتم تضمين النقاط الحرجة في الحل ؛
- يجب تضمين النقاط التي يتم فيها تحديد الوظيفة بدون مشتق محدد في فترات الزيادة والنقصان (على سبيل المثال ، y \ u003d x 3 ، حيث تجعل النقطة x \ u003d 0 الوظيفة محددة ، والمشتق له قيمة لا نهائية عند هذه النقطة ، y "= 1 3 x 2 3 ، y" (0) \ u003d 1 0 \ u003d الزيادة ∞، 0
- من أجل تجنب الخلافات ، يوصى باستخدام الأدبيات الرياضية ، والتي أوصت بها وزارة التربية والتعليم.
إدراج النقاط الحرجة في فترات الزيادة والنقصان إذا كانت ترضي مجال الوظيفة.
التعريف 2
ل تحديد فترات الزيادة والنقصان للوظيفة ، من الضروري إيجادها:
- المشتق؛
- نقاط حرجة؛
- تقسيم مجال التعريف بمساعدة النقاط الحرجة إلى فترات ؛
- حدد علامة المشتق في كل فترة من الفترات ، حيث + هي زيادة و - انخفاض.
مثال 3
أوجد المشتق في المجال f "(x) = x 2" (4 x 2-1) - x 2 4 x 2-1 "(4 x 2-1) 2 = - 2 x (4 x 2-1) 2.
حل
لحل تحتاج:
- ابحث عن نقاط ثابتة ، هذا المثال يحتوي على x = 0 ؛
- أوجد أصفار المقام ، يأخذ المثال القيمة صفر عند x = ± 1 2.
نعرض النقاط على المحور العددي لتحديد المشتق في كل فترة. للقيام بذلك ، يكفي أخذ أي نقطة من الفاصل الزمني وإجراء عملية حسابية. إذا كانت النتيجة موجبة ، فإننا نرسم + على الرسم البياني ، مما يعني زيادة في الدالة ، و- يعني انخفاضها.
على سبيل المثال ، f "(- 1) \ u003d - 2 (- 1) 4-1 2-1 2 \ u003d 2 9 \ u003e 0 ، مما يعني أن الفاصل الزمني الأول على اليسار به علامة +. ضع في اعتبارك خط الأرقام.
إجابة:
- هناك زيادة في الوظيفة في الفترة - ∞ ؛ - 1 2 و (- 1 2 ؛ 0] ؛
- يوجد انخفاض في الفترة الزمنية [0؛ 1 2) و 1 2 ؛ + ∞.
في الرسم التخطيطي ، باستخدام + و - ، يتم تصوير الإيجابية والسلبية للوظيفة ، وتشير الأسهم إلى تناقص وتزايد.
النقاط القصوى للدالة هي النقاط التي يتم فيها تعريف الوظيفة والتي من خلالها علامة تغير المشتق.
مثال 4
إذا أخذنا في الاعتبار مثالًا حيث x \ u003d 0 ، فإن قيمة الوظيفة فيه هي f (0) \ u003d 0 2 4 0 2-1 \ u003d 0. عندما تتغير علامة المشتق من + إلى - وتمر عبر النقطة س \ u003d 0 ، فإن النقطة ذات الإحداثيات (0 ؛ 0) تعتبر النقطة القصوى. عندما يتم تغيير العلامة من - إلى + ، نحصل على الحد الأدنى للنقطة.
يتم تحديد التحدب والتقعر من خلال حل عدم المساواة في الشكل f "" (x) ≥ 0 و f "" (x) ≤ 0. في كثير من الأحيان ، يستخدمون الاسم المنتفخ لأسفل بدلاً من التقعر ، وينتفخ لأعلى بدلاً من الانتفاخ.
التعريف 3
ل تحديد فجوات التقعر والتحدبضروري:
- أوجد المشتق الثاني
- أوجد أصفار دالة المشتق الثاني ؛
- كسر مجال التعريف بالنقاط التي تظهر في فترات ؛
- تحديد علامة الفجوة.
مثال 5
أوجد المشتق الثاني من مجال التعريف.
حل
f "(x) = - 2 x (4 x 2-1) 2" = (- 2 x) "(4 x 2-1) 2 - - 2 x 4 x 2-1 2" (4 x 2-1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2-1) 3
نجد أصفار البسط والمقام ، حيث ، باستخدام مثالنا ، لدينا أصفار المقام x = ± 1 2
أنت الآن بحاجة إلى وضع النقاط على خط الأعداد وتحديد علامة المشتق الثاني من كل فترة. لقد حصلنا على ذلك
إجابة:
- الوظيفة محدبة من الفاصل الزمني - 1 2 ؛ 12 ؛
- الوظيفة مقعرة من الفجوات - ∞ ؛ - 1 2 و 1 2 ؛ + ∞.
التعريف 4
نقطة الأنحرافهي نقطة على شكل x 0 ؛ و (x0). عندما يكون هناك مماس للرسم البياني للدالة ، فعندما يمر عبر x 0 ، تتغير الدالة إشارة إلى العكس.
بعبارة أخرى ، هذه هي النقطة التي يمر من خلالها المشتق الثاني ويغير علامة ، وعند النقاط نفسها تساوي الصفر أو لا وجود لها. تعتبر جميع النقاط مجال الوظيفة.
في المثال ، لوحظ أنه لا توجد نقاط انعطاف ، حيث أن المشتق الثاني يغير إشارة أثناء المرور عبر النقاط x = ± 1 2. هم ، بدورهم ، غير مدرجين في مجال التعريف.
إيجاد الخطوط المقاربة الأفقية والمائلة
عند تحديد دالة عند اللانهاية ، يجب على المرء أن يبحث عن خطوط مقاربة أفقية ومائلة.
التعريف 5
الخطوط المقاربة المائلةيتم رسمها باستخدام الخطوط المعطاة بالمعادلة y = k x + b ، حيث k = lim x → ∞ f (x) x and b = lim x → ∞ f (x) - k x.
بالنسبة إلى k = 0 و b لا تساوي اللانهاية ، نجد أن الخط المقارب المائل يصبح أفقي.
بمعنى آخر ، الخطوط المقاربة هي الخطوط التي يقترب منها الرسم البياني للوظيفة عند اللانهاية. هذا يساهم في البناء السريع للرسم البياني للوظيفة.
إذا لم تكن هناك خطوط مقاربة ، ولكن تم تحديد الوظيفة عند كلا النهايتين ، فمن الضروري حساب حد الوظيفة عند هذه اللانهايات من أجل فهم كيفية تصرف الرسم البياني للوظيفة.
مثال 6
كمثال ، اعتبر ذلك
k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2-1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2-1 = 1 4 ⇒ y = 1 4
هو خط مقارب أفقي. بعد البحث عن الوظيفة ، يمكنك البدء في بنائها.
حساب قيمة دالة عند نقاط وسيطة
لجعل الرسم أكثر دقة ، يوصى بالعثور على عدة قيم للوظيفة عند نقاط وسيطة.
مثال 7
من المثال الذي درسناه ، من الضروري إيجاد قيم الوظيفة عند النقاط x \ u003d - 2 ، x \ u003d - 1 ، x \ u003d - 3 4 ، x \ u003d - 1 4. نظرًا لأن الوظيفة زوجية ، نحصل على أن القيم تتطابق مع القيم الموجودة في هذه النقاط ، أي نحصل على x \ u003d 2 ، x \ u003d 1 ، x \ u003d 3 4 ، x \ u003d 1 4.
لنكتب ونحل:
و (- 2) \ u003d و (2) \ u003d 2 2 4 2 2 - 1 \ u003d 4 15 ≈ 0 ، 27 0.45 و - 1 4 = و 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08
لتحديد الحدود القصوى والدنيا للوظيفة ، ونقاط الانعطاف ، والنقاط الوسيطة ، من الضروري بناء خطوط مقاربة. للتعيين المريح ، يتم إصلاح فترات الزيادة والنقصان والتحدب والتقعر. النظر في الشكل أدناه.
من الضروري رسم خطوط الرسم البياني من خلال النقاط المحددة ، والتي ستتيح لك الاقتراب من الخطوط المقاربة ، باتباع الأسهم.
هذا يختتم الدراسة الكاملة للوظيفة. هناك حالات لبناء بعض الوظائف الأولية التي تستخدم فيها التحولات الهندسية.
إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter
يستكشف هذا الدرس موضوع "استكشاف الوظائف والمهام ذات الصلة". يناقش هذا الدرس بناء الرسوم البيانية للدوال باستخدام المشتقات. تتم دراسة الوظيفة ، وبناء الرسم البياني الخاص بها ، ويتم حل عدد من المشكلات ذات الصلة.
الموضوع: مشتق
الدرس: التحقيق في وظيفةوالمهام ذات الصلة
من الضروري التحقيق في هذه الوظيفة ، وبناء رسم بياني ، والعثور على فترات من الرتابة ، والحد الأقصى ، والحد الأدنى ، وما هي المهام المصاحبة لمعرفة هذه الوظيفة.
أولاً ، سنستفيد استفادة كاملة من المعلومات التي توفرها دالة بدون مشتقة.
1. ابحث عن فترات ثبات الوظيفة وقم بإنشاء رسم تخطيطي للرسم البياني للدالة:
1) البحث.
2) الجذور الوظيفية: من هنا
3) فترات ثبات الوظيفة (انظر الشكل 1):
أرز. 1. فترات من علامة ثابتة للدالة.
نحن نعلم الآن أنه في الفترة الزمنية والرسم البياني أعلى المحور X ، على الفترة - أسفل المحور X.
2. لنقم ببناء رسم بياني بالقرب من كل جذر (انظر الشكل 2).
أرز. 2. رسم بياني للدالة في محيط الجذر.
3. دعونا نبني رسمًا بيانيًا للوظيفة بالقرب من كل نقطة انقطاع في مجال التعريف. مجال التعريف ينكسر عند هذه النقطة. إذا كانت القيمة قريبة من النقطة ، فإن قيمة الوظيفة تميل إلى (انظر الشكل 3).
أرز. 3. رسم بياني للوظيفة بالقرب من نقطة الانقطاع.
4. لنحدد كيف يؤدي الرسم البياني إلى الاقتراب من النقاط البعيدة بشكل لا نهائي:
دعنا نكتب باستخدام الحدود
. من المهم أنه بالنسبة للوظيفة الكبيرة جدًا ، لا تختلف الوظيفة تقريبًا عن الوحدة.
لنجد المشتق ، وفترات علامته الثابتة ، وستكون فترات رتابة للدالة ، ونجد تلك النقاط التي يكون فيها المشتق مساويًا للصفر ، ونكتشف أين تكون النقطة العظمى ، حيث تكون النقطة الدنيا.
لذلك، . هذه النقاط هي نقاط داخلية في مجال التعريف. لنكتشف ما هي علامة المشتق في الفترات ، وأي من هذه النقاط هي النقطة العظمى ، وأيها هي النقطة الصغرى (انظر الشكل 4).
أرز. 4. فترات من علامة ثابتة للمشتق.
من التين. 4 يمكن ملاحظة أن النقطة هي النقطة الدنيا ، والنقطة هي النقطة القصوى. قيمة الوظيفة عند النقطة هي. قيمة الوظيفة عند النقطة هي 4. الآن دعنا نرسم الدالة (انظر الشكل 5).
أرز. 5. رسم بياني للدالة.
هكذا بنيت الرسم البياني للوظيفة. دعنا نصفها. لنكتب الفترات التي تتناقص فيها الدالة بشكل رتيب:، - هذه هي الفترات التي يكون فيها المشتق سالبًا. تزيد الوظيفة بشكل رتيب على الفواصل الزمنية و. - الحد الأدنى للنقطة - الحد الأقصى للنقطة.
ابحث عن عدد جذور المعادلة اعتمادًا على قيم المعلمات.
1. بناء رسم بياني للدالة. تم بناء الرسم البياني لهذه الوظيفة أعلاه (انظر الشكل 5).
2. قص الرسم البياني بمجموعة من الخطوط المستقيمة واكتب الإجابة (انظر الشكل 6).
أرز. 6. تقاطع الرسم البياني للدالة مع الخطوط المستقيمة.
1) ل - حل واحد.
2) ل - حلين.
3) ل - ثلاثة حلول.
4) ل - حلين.
5) في - ثلاثة حلول.
6) في - حلين.
7) عند - حل واحد.
وهكذا قمنا بحل إحدى المشكلات المهمة وهي إيجاد عدد حلول المعادلة اعتمادًا على المعلمة. قد تكون هناك حالات خاصة مختلفة ، على سبيل المثال ، سيكون هناك حل واحد أو حلين ، أو ثلاثة حلول. لاحظ أن هذه الحالات الخاصة ، كل الإجابات على هذه الحالات الخاصة واردة في الإجابة العامة.
1. الجبر وبداية التحليل الصف العاشر (قسمين). كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية ( مستوى الملف الشخصي) إد. أ.موردكوفيتش. -M: Mnemosyne ، 2009.
2. الجبر وبداية التحليل الصف العاشر (قسمين). كتاب المهام للمؤسسات التعليمية (مستوى الملف الشخصي) ، أد. أ.موردكوفيتش. -M: Mnemosyne ، 2007.
3. Vilenkin N.Ya.، Ivashev-Musatov O.S، Shvartsburd S.I. الجبر والتحليل الرياضي للصف العاشر (كتاب مدرسي لطلاب المدارس والصفوف مع دراسة متعمقة للرياضيات). - م: التربية ، 1996.
4. Galitsky M.L.، Moshkovich M.M.، Shvartsburd S.I. دراسة متعمقة للجبر والتحليل الرياضي. - م: التربية ، 1997.
5. مجموعة مشاكل في الرياضيات للمتقدمين للجامعات التقنية (تحت إشراف M.I.Skanavi) .- M: High School، 1992.
6. Merzlyak A.G. ، Polonsky V.B. ، Yakir MS مدرب جبري .- K: ASK ، 1997.
7. Zvavich L.I. ، Shlyapochnik L.Ya. ، Chinkina Algebra وبدايات التحليل. 8-11 خلية: دليل للمدارس والصفوف مع دراسة متعمقة للرياضيات (المواد التعليمية) - م: دروفا ، 2002.
8. Saakyan S.M.، Goldman A.M.، Denisov D.V. مهام في الجبر وبدايات التحليل (دليل لطلاب الصفوف 10-11 بمؤسسات التعليم العام) .- م: التربية ، 2003.
9. كارب أ. مجموعة مسائل الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي. بدل 10-11 خلية. بعمق يذاكر mathematics.-M: التعليم ، 2006.
10. جليزر جي. تاريخ الرياضيات في المدرسة. الصفوف 9-10 (دليل للمعلمين) .- م: التنوير ، 1983
موارد ويب إضافية
2. بوابة العلوم الطبيعية ().
تفعل في المنزل
رقم 45.7 ، 45.10 (الجبر وبدايات التحليل ، الصف العاشر (في جزأين). كتاب مهام للمؤسسات التعليمية (مستوى الملف الشخصي) تحرير أ.
