من البسيط إلى المعقد. المعادلات اللوغاريتمية! المعادلات اللوغاريتمية مع الاستبدال

المعادلة اللوغاريتميةهي معادلة يكون فيها المجهول (x) والعبارات معه تحت إشارة الدالة اللوغاريتمية. يفترض حل المعادلات اللوغاريتمية أنك على دراية بـ و .
كيفية حل المعادلات اللوغاريتمية؟

أبسط معادلة هي تسجيل س = بحيث a و b عبارة عن أرقام، x غير معروف.
حل معادلة لوغاريتميةهو س = أ ب المقدمة: أ > 0، أ 1.

تجدر الإشارة إلى أنه إذا كانت x في مكان ما خارج اللوغاريتم، على سبيل المثال log 2 x = x-2، فإن هذه المعادلة تسمى بالفعل مختلطة ويلزم اتباع نهج خاص لحلها.

الحالة المثالية هي عندما تصادف معادلة فيها أرقام فقط تحت علامة اللوغاريتم، على سبيل المثال x+2 = log 2 2. وهنا يكفي معرفة خصائص اللوغاريتمات لحلها. لكن مثل هذا الحظ لا يحدث كثيرًا، لذا استعد لأشياء أكثر صعوبة.

لكن أولاً، لنبدأ بمعادلات بسيطة. لحلها، من المستحسن أن يكون لديك فهم عام جدًا للوغاريتم.

حل المعادلات اللوغاريتمية البسيطة

وتشمل هذه المعادلات من النوع log 2 x = log 2 16. يمكن للعين المجردة أن ترى أنه بحذف إشارة اللوغاريتم نحصل على x = 16.

لحل معادلة لوغاريتمية أكثر تعقيدًا، عادةً ما يتم اختصارها إلى حل معادلة جبرية عادية أو إلى حل معادلة لوغاريتمية بسيطة log a x = b. في أبسط المعادلات يحدث هذا في حركة واحدة، ولهذا تسمى بالأبسط.

تعد الطريقة المذكورة أعلاه لإسقاط اللوغاريتمات إحدى الطرق الرئيسية لحل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات. في الرياضيات، تسمى هذه العملية التقوية. هناك قواعد أو قيود معينة لهذا النوع من العمليات:

• اللوغاريتمات لها نفس القواعد العددية
• اللوغاريتمات في طرفي المعادلة حرة، أي. دون أي معاملات أو غيرها من أنواع التعبيرات المختلفة.

لنفترض أن التقوية في سجل المعادلة 2 x = 2log 2 (1 - x) غير قابلة للتطبيق - فالمعامل 2 الموجود على اليمين لا يسمح بذلك. في المثال التالي، log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) لا يفي أيضًا بأحد القيود - يوجد لوغاريتمان على اليسار. لو كان هناك واحد فقط، لكان الأمر مختلفًا تمامًا!

بشكل عام، يمكنك إزالة اللوغاريتمات فقط إذا كانت المعادلة بالشكل:

سجل (...) = سجل (...)

بالتأكيد يمكن وضع أي تعبيرات بين قوسين، وهذا ليس له أي تأثير على الإطلاق على عملية التقوية. وبعد حذف اللوغاريتمات، ستبقى معادلة أبسط - خطية، تربيعية، أسية، وما إلى ذلك، والتي آمل أن تكون تعرف بالفعل كيفية حلها.

ولنأخذ مثالاً آخر:

سجل 3 (2س-5) = سجل 3 س

نطبق التقوية فنحصل على:

سجل 3 (2س-1) = 2

بناءً على تعريف اللوغاريتم، وهو أن اللوغاريتم هو الرقم الذي يجب رفع الأساس إليه للحصول على تعبير يقع تحت علامة اللوغاريتم، أي. (4x-1) نحصل على:

مرة أخرى تلقينا إجابة جميلة. لقد فعلنا ذلك دون إزالة اللوغاريتمات، ولكن التقوية قابلة للتطبيق هنا أيضًا، لأنه يمكن إنشاء اللوغاريتم من أي رقم، وهو بالضبط اللوغاريتم الذي نحتاجه. هذه الطريقة مفيدة جدًا في حل المعادلات اللوغاريتمية وخاصة المتباينات.

دعونا نحل سجل المعادلة اللوغاريتمية 3 (2x-1) = 2 باستخدام التقوية:

لنتخيل الرقم 2 لوغاريتم، على سبيل المثال، هذا السجل 3 9، لأن 3 2 = 9.

ثم log 3 (2x-1) = log 3 9 ومرة ​​أخرى نحصل على نفس المعادلة 2x-1 = 9. أتمنى أن يكون كل شيء واضحًا.

لذا بحثنا في كيفية حل أبسط المعادلات اللوغاريتمية، والتي تعتبر في الواقع مهمة جدًا، لأنها حل المعادلات اللوغاريتمية، حتى أفظعها وأكثرها انحرافًا، في النهاية يتعلق الأمر دائمًا بحل أبسط المعادلات.

في كل ما فعلناه أعلاه، فقدنا نقطة مهمة جدًا، والتي ستلعب دورًا حاسمًا في المستقبل. الحقيقة هي أن حل أي معادلة لوغاريتمية، حتى أبسطها، يتكون من جزأين متساويين. الأول هو حل المعادلة نفسها، والثاني هو العمل مع نطاق القيم المسموح بها (APV). هذا هو بالضبط الجزء الأول الذي أتقنناه. في الأمثلة المذكورة أعلاه، لا يؤثر ODZ على الإجابة بأي شكل من الأشكال، لذلك لم نأخذها في الاعتبار.

ولنأخذ مثالاً آخر:

سجل 3 (س 2 -3) = سجل 3 (2س)

ظاهريًا، لا تختلف هذه المعادلة عن المعادلة الأولية التي يمكن حلها بنجاح كبير. ولكنه ليس كذلك. لا، بالطبع سنحلها، ولكن على الأرجح بشكل غير صحيح، لأنها تحتوي على كمين صغير يقع فيه على الفور طلاب الصف C والطلاب المتفوقون. دعونا نلقي نظرة فاحصة.

لنفترض أنك بحاجة إلى إيجاد جذر المعادلة أو مجموع الجذور، إذا كان هناك العديد منها:

سجل 3 (س 2 -3) = سجل 3 (2س)

نحن نستخدم التقوية، وهو مقبول هنا. ونتيجة لذلك، نحصل على معادلة تربيعية عادية.

إيجاد جذور المعادلة:

اتضح جذورين.

الجواب: 3 و-1

للوهلة الأولى كل شيء صحيح. لكن دعونا نتحقق من النتيجة ونعوض بها في المعادلة الأصلية.

لنبدأ بـ س 1 = 3:

سجل 3 6 = سجل 3 6

تم التحقق بنجاح، والآن قائمة الانتظار هي x 2 = -1:

سجل 3 (-2) = سجل 3 (-2)

حسنًا، توقف! في الخارج كل شيء مثالي. شيء واحد - لا توجد لوغاريتمات من الأرقام السالبة! هذا يعني أن الجذر x = -1 غير مناسب لحل معادلتنا. وبالتالي فإن الإجابة الصحيحة ستكون 3 وليس 2 كما كتبنا.

هذا هو المكان الذي لعبت فيه ODZ دورها القاتل الذي نسيناه.

اسمحوا لي أن أذكرك أن نطاق القيم المقبولة يتضمن قيم x المسموح بها أو المنطقية للمثال الأصلي.

بدون ODZ، أي حل، حتى صحيح تماما، لأي معادلة يتحول إلى اليانصيب - 50/50.

كيف يمكن أن ننشغل بحل مثال يبدو بدائيًا؟ ولكن على وجه التحديد في لحظة التقوية. اختفت اللوغاريتمات ومعها كل القيود.

ماذا تفعل في هذه الحالة؟ هل ترفض حذف اللوغاريتمات؟ وترفض تماما حل هذه المعادلة؟

لا، نحن فقط، مثل الأبطال الحقيقيين من أغنية مشهورة، سوف ننعطف!

قبل أن نبدأ في حل أي معادلة لوغاريتمية، سنكتب ODZ. ولكن بعد ذلك، يمكنك أن تفعل ما يحلو لك مع معادلتنا. بعد تلقي الإجابة، نقوم ببساطة برمي تلك الجذور التي لم يتم تضمينها في ODZ لدينا وكتابة النسخة النهائية.

الآن دعونا نقرر كيفية تسجيل ODZ. للقيام بذلك، نقوم بفحص المعادلة الأصلية بعناية ونبحث عن الأماكن المشبوهة فيها، مثل القسمة على x أو حتى الجذر وما إلى ذلك. وإلى أن نحل المعادلة، لا نعرف ما يساوي x، لكننا نعرف على وجه اليقين أن تلك x التي، عند استبدالها، تعطي القسمة على 0 أو الجذر التربيعي لعدد سالب، من الواضح أنها ليست مناسبة كإجابة . لذلك، فإن مثل هذه x غير مقبولة، في حين أن الباقي سيشكل ODZ.

لنستخدم نفس المعادلة مرة أخرى:

سجل 3 (س 2 -3) = سجل 3 (2س)

سجل 3 (س 2 -3) = سجل 3 (2س)

كما ترون، لا يوجد قسمة على 0، ولا توجد أيضًا جذور تربيعية، ولكن توجد تعبيرات بـ x في جسم اللوغاريتم. دعونا نتذكر على الفور أن التعبير داخل اللوغاريتم يجب أن يكون دائمًا > 0. نكتب هذا الشرط على شكل ODZ:

أولئك. لم نحل أي شيء بعد، لكننا كتبنا بالفعل شرطًا إلزاميًا للتعبير اللوغاريتمي بأكمله. ويعني القوس المتعرج أن هذه الشروط يجب أن تكون صحيحة في وقت واحد.

تم كتابة ODZ، ولكن من الضروري أيضًا حل نظام عدم المساواة الناتج، وهو ما سنفعله. نحصل على الجواب x> v3. الآن نحن نعرف على وجه اليقين أي x لن يناسبنا. وبعد ذلك نبدأ في حل المعادلة اللوغاريتمية نفسها، وهو ما فعلناه أعلاه.

بعد أن تلقينا الإجابات x 1 = 3 و x 2 = -1، من السهل أن نرى أن x1 = 3 فقط يناسبنا، ونكتبها كإجابة نهائية.

بالنسبة للمستقبل، من المهم جدًا أن نتذكر ما يلي: نحن نحل أي معادلة لوغاريتمية على مرحلتين. الأول هو حل المعادلة نفسها، والثاني هو حل شرط ODZ. يتم تنفيذ كلتا المرحلتين بشكل مستقل عن بعضهما البعض ولا تتم مقارنتهما إلا عند كتابة الإجابة، أي. تخلص من كل ما هو غير ضروري واكتب الإجابة الصحيحة.

لتعزيز المادة، نوصي بشدة بمشاهدة الفيديو:

يعرض الفيديو أمثلة أخرى لحل السجل. المعادلات والعمل على طريقة الفترات في الممارسة العملية.

على هذا السؤال، كيفية حل المعادلات اللوغاريتميةهذا كل شئ حتى الان. إذا تقرر شيء ما من خلال السجل. إذا ظلت المعادلات غير واضحة أو غير مفهومة، اكتب أسئلتك في التعليقات.

ملحوظة: أكاديمية التربية الاجتماعية (ASE) جاهزة لقبول الطلاب الجدد.

أمثلة:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

كيفية حل المعادلات اللوغاريتمية:

عند حل معادلة لوغاريتمية، يجب أن تسعى جاهدة لتحويلها إلى النموذج \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\)، ثم قم بالانتقال إلى \(f(x) )=ز(س) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

مثال:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

حل: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(س-2=8\) \(س=10\) فحص:\(10>2\) - مناسب لـ DL إجابة:\(س=10\)

أودز: \(س-2>0\) \(س>2\)

مهم جدا!لا يمكن إجراء هذا الانتقال إلا إذا:

لقد كتبت للمعادلة الأصلية، وفي النهاية سوف تتحقق مما إذا كانت تلك التي تم العثور عليها مدرجة في DL. إذا لم يتم ذلك، فقد تظهر جذور إضافية، وهو ما يعني قرارا خاطئا.

الرقم (أو التعبير) الموجود على اليسار واليمين هو نفسه؛

اللوغاريتمات الموجودة على اليسار واليمين "نقية"، أي أنه لا ينبغي أن يكون هناك عمليات ضرب أو قسمة وما إلى ذلك. - اللوغاريتمات الفردية فقط على جانبي علامة المساواة.

على سبيل المثال:

لاحظ أنه يمكن حل المعادلتين 3 و4 بسهولة من خلال تطبيق خصائص اللوغاريتمات الضرورية.

مثال . حل المعادلة \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

حل :

		لنكتب ODZ: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		على اليسار أمام اللوغاريتم يوجد المعامل، وعلى اليمين هو مجموع اللوغاريتمات. هذا يزعجنا. لننقل الاثنين إلى الأس \(x\) وفقًا للخاصية: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). دعونا نمثل مجموع اللوغاريتمات كوغاريتم واحد وفقًا للخاصية: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		قمنا بتبسيط المعادلة إلى الصيغة \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) وكتبنا ODZ، مما يعني أنه يمكننا الانتقال إلى الصيغة \(f(x) =ز(س)\ ).
		حدث . نحن نحلها ونحصل على الجذور.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		نتحقق مما إذا كانت الجذور مناسبة لـ ODZ. للقيام بذلك، في \(x>0\) بدلاً من \(x\) نستبدل \(5\) و\(-5\). يمكن إجراء هذه العملية عن طريق الفم.
\(5>0\), \(-5>0\)		المتباينة الأولى صحيحة، والثانية ليست كذلك. هذا يعني أن \(5\) هو جذر المعادلة، لكن \(-5\) ليس كذلك. نكتب الجواب.

إجابة : \(5\)

مثال : حل المعادلة \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

حل :

		لنكتب ODZ: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		معادلة نموذجية تم حلها باستخدام . استبدل \(\log_2⁡x\) بـ \(t\).
\(ر=\log_2⁡x\)
		لقد تلقينا المعتاد. نحن نبحث عن جذوره.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		إجراء استبدال عكسي
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		نحول الأطراف اليمنى، ونمثلها باللوغاريتمات: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) و \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		الآن معادلاتنا هي \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\)، ويمكننا الانتقال إلى \(f(x)=g(x)\).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		نتحقق من مراسلات جذور ODZ. للقيام بذلك، استبدل \(4\) و\(2\) في المتراجحة \(x>0\) بدلاً من \(x\).
\(4>0\) \(2>0\)		كلا عدم المساواة صحيح. هذا يعني أن كلا من \(4\) و\(2\) هما جذور المعادلة.

إجابة : \(4\); \(2\).

يتعثر العديد من الطلاب في معادلات من هذا النوع. في الوقت نفسه، فإن المهام نفسها ليست معقدة بأي حال من الأحوال - يكفي إجراء استبدال متغير مختص، والذي يجب أن تتعلم كيفية تحديد التعبيرات المستقرة.

بالإضافة إلى هذا الدرس، ستجد عملا مستقلا ضخما إلى حد ما، يتكون من خيارين مع 6 مشاكل لكل منهما.

طريقة التجميع

سنقوم اليوم بتحليل معادلتين لوغاريتميتين، إحداهما لا يمكن حلها مباشرة وتتطلب تحويلات خاصة، والثانية... ومع ذلك، لن أخبركم بكل شيء دفعة واحدة. شاهد الفيديو وقم بتنزيل العمل المستقل - وتعلم كيفية حل المشكلات المعقدة.

لذا، قم بتجميع العوامل المشتركة ووضعها خارج الأقواس. بالإضافة إلى ذلك، سأخبرك بالمزالق التي يحملها مجال تعريف اللوغاريتمات، وكيف يمكن للملاحظات الصغيرة في مجال التعريفات أن تغير بشكل كبير الجذور والحل بأكمله.

لنبدأ من المجموعة. علينا حل المعادلة اللوغاريتمية التالية:

سجل 2 × سجل 2 (x − 3) + 1 = سجل 2 (x 2 − 3x )

أولًا، لاحظ أنه يمكن تحليل x 2 − 3x إلى عوامل:

سجل 2 س (س − 3)

ثم تذكر الصيغة الرائعة:

سجل fg = سجل f + سجل g

مجرد ملاحظة سريعة: تعمل هذه الصيغة بشكل رائع عندما تكون a وf وg أرقامًا عادية. ولكن عندما يتم استبدالها بالوظائف، تتوقف هذه التعبيرات عن أن تكون متساوية. تخيل هذا الموقف الافتراضي:

F< 0; g < 0

في هذه الحالة، سيكون المنتج fg موجبًا، وبالتالي، سيكون log a (fg) موجودًا، لكن log a f وlog a g لن يكونا موجودين بشكل منفصل، ولن نتمكن من إجراء مثل هذا التحويل.

إن تجاهل هذه الحقيقة سيؤدي إلى تضييق نطاق التعريف، وبالتالي فقدان الجذور. لذلك، قبل إجراء مثل هذا التحويل، يجب عليك التأكد مسبقًا من أن الدالتين f و g موجبتان.

في حالتنا، كل شيء بسيط. بما أن المعادلة الأصلية تحتوي على سجل الدالة 2 x، فإن x > 0 (بعد كل شيء، المتغير x موجود في الوسيطة). يوجد أيضًا سجل 2 (x − 3)، لذا x − 3 > 0.

لذلك، في سجل الدالة 2 x (x − 3) سيكون كل عامل أكبر من الصفر. لذلك، يمكنك تحليل المنتج بأمان إلى الكمية:

سجل 2 × سجل 2 (س − 3) + 1 = سجل 2 × + سجل 2 (س − 3)

سجل 2 × سجل 2 (س − 3) + 1 - سجل 2 × − سجل 2 (س − 3) = 0

للوهلة الأولى، قد يبدو أن الأمور لم تصبح أسهل. على العكس من ذلك: لقد زاد عدد المصطلحات! لفهم كيفية المتابعة، دعونا نقدم متغيرات جديدة:

سجل 2 س = أ

سجل 2 (س - 3) = ب

أ · ب + 1 − أ − ب = 0

الآن دعونا نجمع الحد الثالث مع الأول:

(أ · ب − أ ) + (1 − ب ) = 0

أ (1 · ب − 1) + (1 − ب ) = 0

لاحظ أن كلا القوسين الأول والثاني يحتويان على b − 1 (في الحالة الثانية، سيتعين عليك إزالة "الطرح" من القوس). دعونا نحلل البناء لدينا:

أ (1 · ب − 1) − (ب − 1) = 0

(ب − 1)(أ 1 − 1) = 0

والآن دعونا نتذكر قاعدتنا الرائعة: حاصل الضرب يساوي صفرًا عندما يكون أحد العوامل على الأقل مساويًا للصفر:

ب − 1 = 0 ⇒ ب = 1;

أ − 1 = 0 ⇒ أ = 1.

دعونا نتذكر ما هي ب و أ. لقد حصلنا على معادلتين لوغاريتميتين بسيطتين، وكل ما تبقى فيهما هو التخلص من العلامات اللوغاريتمية ومساواة الوسيطات:

سجل 2 × = 1 ⇒ سجل 2 × = سجل 2 2 ⇒ × 1 =2;

سجل 2 (x − 3) = 1 ⇒ سجل 2 (x − 3) = سجل 2 2 ⇒ x 2 = 5

لقد حصلنا على جذرين، لكن هذه ليست حلولاً للمعادلة اللوغاريتمية الأصلية، ولكنها مجرد حلول مرشحة للإجابة. الآن دعونا نتحقق من مجال التعريف. بالنسبة للحجة الأولى:

س> 0

كلا الجذرين يلبيان الشرط الأول. لننتقل إلى الحجة الثانية:

س − 3 > 0 ⇒ س > 3

لكن هنا x = 2 لا يرضينا، لكن x = 5 يناسبنا جيدًا. وبالتالي فإن الإجابة الوحيدة هي x = 5.

دعنا ننتقل إلى المعادلة اللوغاريتمية الثانية. للوهلة الأولى، الأمر أبسط بكثير. ومع ذلك، في عملية حلها، سننظر في النقاط الدقيقة المتعلقة بنطاق التعريف، والجهل الذي يعقد بشكل كبير حياة الطلاب المبتدئين.

سجل 0.7 (س 2 − 6س + 2) = سجل 0.7 (7 − 2س)

أمامنا الشكل القانوني للمعادلة اللوغاريتمية. ليست هناك حاجة لتحويل أي شيء - حتى القواعد هي نفسها. لذلك، نحن ببساطة نساوي بين الحجج:

س 2 − 6س + 2 = 7 − 2س

س 2 − 6س + 2 − 7 + 2س = 0

س 2 − 4س − 5 = 0

أمامنا المعادلة التربيعية أدناه، ويمكن حلها بسهولة باستخدام صيغ فييتا:

(س − 5) (س + 1) = 0؛

س − 5 = 0 ⇒ س = 5;

س + 1 = 0 ⇒ س = −1.

لكن هذه الجذور ليست الإجابات النهائية. من الضروري إيجاد مجال التعريف، حيث أن المعادلة الأصلية تحتوي على لوغاريتمين، أي. مع الأخذ في الاعتبار مجال التعريف ضروري للغاية.

لذلك، دعونا نكتب مجال التعريف. من ناحية، يجب أن تكون وسيطة اللوغاريتم الأول أكبر من الصفر:

س 2 − 6س + 2 > 0

ومن ناحية أخرى، يجب أيضًا أن تكون الوسيطة الثانية أكبر من الصفر:

7 − 2س > 0

ويجب تلبية هذه المتطلبات في وقت واحد. وهذا هو المكان الذي تبدأ فيه المتعة. بالطبع، يمكننا حل كل من هذه المتباينات، ثم تقاطعها وإيجاد مجال المعادلة بأكملها. لكن لماذا تجعل الحياة صعبة للغاية على نفسك؟

دعونا نلاحظ دقة واحدة. من خلال إزالة علامات السجل، فإننا نساوي الحجج. ويترتب على ذلك أن المتطلبات x 2 − 6x + 2 > 0 و 7 − 2x > 0 متكافئة. ونتيجة لذلك، يمكن القضاء على أي من عدم المساواة. لنشطب الجزء الأصعب ونترك أنفسنا مع عدم المساواة الخطية المعتادة:

−2x > −7

س< 3,5

وبما أننا قسمنا كلا الطرفين على عدد سالب، تغيرت علامة المتباينة.

لذلك، وجدنا ODZ دون أي متباينات تربيعية ومتميزات وتقاطعات. الآن كل ما تبقى هو ببساطة تحديد الجذور التي تقع في هذا الفاصل الزمني. من الواضح أن x = −1 فقط هو الذي يناسبنا، لأن x = 5 > 3.5.

يمكننا كتابة الإجابة: x = 1 هو الحل الوحيد للمعادلة اللوغاريتمية الأصلية.

الاستنتاجات من هذه المعادلة اللوغاريتمية هي كما يلي:

1. لا تخف من تحليل اللوغاريتمات، ثم تحليل العوامل إلى مجموع اللوغاريتمات. ومع ذلك، تذكر أنه من خلال تقسيم المنتج إلى مجموع لوغاريتمين، فإنك بذلك تضيق نطاق التعريف. لذلك، قبل إجراء مثل هذا التحويل، تأكد من التحقق من متطلبات النطاق. في أغلب الأحيان، لا تنشأ أي مشاكل، ولكن لا يضر أن تكون في الجانب الآمن.
2. عند التخلص من النموذج الأساسي، حاول تحسين الحسابات. على وجه الخصوص، إذا كان مطلوبًا منا أن يكون لدينا f > 0 و g > 0، ولكن في المعادلة نفسها f = g، فيمكننا شطب إحدى المتباينات بأمان، وترك أبسطها فقط. لن يتأثر مجال التعريف والإجابات بأي شكل من الأشكال، ولكن سيتم تقليل كمية الحسابات بشكل كبير.

هذا كل ما أردت أن أخبركم به عن المجموعة. :)

الأخطاء النموذجية عند الحل

سننظر اليوم إلى معادلتين لوغاريتميتين نموذجيتين يتعثر فيهما العديد من الطلاب. باستخدام هذه المعادلات كمثال، سنرى الأخطاء التي يتم ارتكابها غالبًا في عملية حل التعبيرات الأصلية وتحويلها.

المعادلات العقلانية الكسرية مع اللوغاريتمات

تجدر الإشارة على الفور إلى أن هذا نوع ماكر إلى حد ما من المعادلات، حيث لا يوجد دائمًا كسر ذو لوغاريتم في مكان ما في المقام. ومع ذلك، في عملية التحول سوف تنشأ بالتأكيد مثل هذا الكسر.

في الوقت نفسه، كن حذرًا: أثناء عملية التحويل، يمكن أن يتغير المجال الأصلي لتعريف اللوغاريتمات بشكل كبير!

ننتقل إلى معادلات لوغاريتمية أكثر صرامة تحتوي على كسور ومتغيرات أساسية. من أجل إنجاز المزيد في درس واحد قصير، لن أخبرك بالنظرية الأولية. دعنا ننتقل مباشرة إلى المهام:

4 سجل 25 (x − 1) − سجل 3 27 + 2 سجل x − 1 5 = 1

وبالنظر إلى هذه المعادلة قد يتساءل قائل: ما علاقة هذا بالمعادلة الكسرية؟ أين يقع الكسر في هذه المعادلة؟ دعونا نأخذ وقتنا وننظر بعناية في كل فصل دراسي.

الحد الأول: 4 سجل 25 (س − 1). أساس اللوغاريتم هو رقم، لكن الوسيطة هي دالة للمتغير x. لا يمكننا أن نفعل أي شيء حيال ذلك بعد. تفضل.

الحد التالي هو: سجل 3 27. تذكر أن 27 = 3 3. لذلك، يمكننا إعادة كتابة اللوغاريتم بأكمله على النحو التالي:

سجل 3 27 = 3 3 = 3

إذن، الحد الثاني هو ثلاثة فقط. الحد الثالث: 2 log x − 1 5. ليس كل شيء بسيطًا هنا أيضًا: الأساس عبارة عن دالة، والوسيطة عبارة عن رقم عادي. أقترح عكس اللوغاريتم بأكمله باستخدام الصيغة التالية:

سجل أ ب = 1/سجل ب أ

لا يمكن إجراء مثل هذا التحول إلا إذا كان b ≠ 1. وإلا فإن اللوغاريتم الموجود في مقام الكسر الثاني لن يكون موجودًا. في حالتنا ب = 5، فكل شيء على ما يرام:

2 سجل x − 1 5 = 2/سجل 5 (x − 1)

لنعد كتابة المعادلة الأصلية مع الأخذ في الاعتبار التحولات الناتجة:

4 سجل 25 (س − 1) − 3 + 2/ سجل 5 (س − 1) = 1

في مقام الكسر لدينا سجل 5 (x − 1)، وفي الحد الأول لدينا سجل 25 (x − 1). لكن 25 = 5 2 فنأخذ المربع من قاعدة اللوغاريتم حسب القاعدة:

بعبارة أخرى، القوة الموجودة في قاعدة اللوغاريتم تصبح الكسر الموجود في المقدمة. وسيتم إعادة كتابة التعبير على النحو التالي:

4 1/2 سجل 5 (س − 1) − 3 + 2/ سجل 5 (س − 1) − 1 = 0

لقد انتهى بنا الأمر إلى معادلة طويلة تحتوي على مجموعة من اللوغاريتمات المتماثلة. دعونا نقدم متغيرا جديدا:

سجل 5 (س - 1) = ر؛

2t − 4 + 2/t = 0;

لكن هذه معادلة كسرية وعقلانية، ويمكن حلها باستخدام جبر الصف الثامن إلى التاسع. أولا، دعونا نقسم كل شيء على اثنين:

ر − 2 + 1/ر = 0;

(ر 2 − 2ر + 1)/ر = 0

يوجد مربع محدد بين قوسين. دعونا طيها:

(ر − 1) 2 /ر = 0

الكسر يساوي صفرًا عندما يكون بسطه صفرًا ومقامه غير صفر. لا تنسوا هذه الحقيقة أبدا:

(ر − 1) 2 = 0

ر = 1

ر ≠ 0

دعونا نتذكر ما هو:

سجل 5 (س - 1) = 1

سجل 5 (س − 1) = سجل 5 5

نتخلص من علامات السجل ونساوي وسيطاتها ونحصل على:

س − 1 = 5 ⇒ س = 6

الجميع. حلت المشكلة. لكن لنعد إلى المعادلة الأصلية ونتذكر أنه كان هناك لوغاريتمين للمتغير x. لذلك، من الضروري كتابة مجال التعريف. بما أن x −1 موجودة في وسيطة اللوغاريتم، فيجب أن يكون هذا التعبير أكبر من الصفر:

س − 1 > 0

من ناحية أخرى، نفس x - 1 موجود أيضًا في القاعدة، لذلك يجب أن يختلف عن الوحدة:

س − 1 ≠ 1

ومن هنا نستنتج:

س > 1؛ س ≠ 2

ويجب تلبية هذه المتطلبات في وقت واحد. القيمة x = 6 تلبي كلا الشرطين، لذا فإن x = 6 هو الحل النهائي للمعادلة اللوغاريتمية.

لننتقل إلى المهمة الثانية:

دعونا نأخذ وقتنا مرة أخرى وننظر إلى كل مصطلح:

سجل 4 (س + 1) - القاعدة هي أربعة. إنه رقم عادي وليس عليك لمسه. لكن في المرة الأخيرة صادفنا مربعًا محددًا عند القاعدة، والذي يجب إخراجه من أسفل علامة اللوغاريتم. دعونا نفعل الشيء نفسه الآن:

سجل 4 (س + 1) = 1/2 سجل 2 (س + 1)

الحيلة هي أن لدينا بالفعل لوغاريتمًا بالمتغير x، وإن كان في القاعدة - وهو معكوس اللوغاريتم الذي وجدناه للتو:

8 سجل x + 1 2 = 8 (1/سجل 2 (س + 1)) = 8/سجل 2 (س + 1)

الحد التالي هو سجل 2 8. وهذا ثابت، لأن كلا من الوسيطة والقاعدة تحتوي على أرقام عادية. لنجد القيمة:

سجل 2 8 = سجل 2 2 3 = 3

يمكننا أن نفعل الشيء نفسه مع اللوغاريتم الأخير:

الآن دعونا نعيد كتابة المعادلة الأصلية:

1/2 سجل 2 (س + 1) + 8/سجل 2 (س + 1) − 3 − 1 = 0;

سجل 2 (س + 1)/2 + 8/سجل 2 (س + 1) − 4 = 0

لنصل بكل شيء إلى قاسم مشترك:

مرة أخرى، لدينا معادلة عقلانية كسرية. دعونا نقدم متغيرا جديدا:

ر = سجل 2 (س + 1)

لنعيد كتابة المعادلة مع الأخذ بعين الاعتبار المتغير الجديد:

كن حذرًا: في هذه الخطوة قمت بتبديل الشروط. بسط الكسر يحتوي على مربع الفرق:

كما في السابق، الكسر يساوي صفرًا عندما يكون بسطه صفرًا ومقامه غير صفر:

(ر − 4) 2 = 0 ⇒ ر = 4;

ر ≠ 0

لقد حصلنا على جذر واحد يحقق كافة المتطلبات، لذلك نعود إلى المتغير x:

سجل 2 (س + 1) = 4؛

سجل 2 (س + 1) = سجل 2 2 4؛

س + 1 = 16؛

س = 15

هذا كل شيء، لقد حللنا المعادلة. ولكن نظرًا لوجود عدة لوغاريتمات في المعادلة الأصلية، فمن الضروري كتابة مجال التعريف.

إذن، التعبير x + 1 موجود في وسيطة اللوغاريتم. لذلك x + 1 > 0. ومن ناحية أخرى، x + 1 موجود أيضًا في القاعدة، أي. س + 1 ≠ 1. الإجمالي:

0 ≠ س > −1

هل الجذر الموجود يلبي هذه المتطلبات؟ مما لا شك فيه. وبالتالي فإن x = 15 هو حل للمعادلة اللوغاريتمية الأصلية.

أخيرًا، أود أن أقول ما يلي: إذا نظرت إلى معادلة وأدركت أنه يتعين عليك حل شيء معقد وغير قياسي، فحاول تحديد الهياكل المستقرة التي سيتم تحديدها لاحقًا بواسطة متغير آخر. إذا كانت بعض الحدود لا تحتوي على المتغير x على الإطلاق، فيمكن حسابها ببساطة.

هذا كل ما أردت التحدث عنه اليوم. آمل أن يساعدك هذا الدرس في حل المعادلات اللوغاريتمية المعقدة. شاهد فيديوهات تعليمية أخرى، وقم بتنزيل وحل مشاكلك الخاصة، ونراكم في الفيديو التالي!

المعادلات اللوغاريتمية. من البسيط إلى المعقد.

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

ما هي المعادلة اللوغاريتمية؟

هذه معادلة مع اللوغاريتمات. أنا مندهش، أليس كذلك؟) ثم سأوضح. هذه معادلة يتم فيها العثور على المجهولات (x) والتعبيرات معها داخل اللوغاريتمات.وهناك فقط! انه مهم.

وهنا بعض الأمثلة المعادلات اللوغاريتمية:

سجل 3 س = سجل 3 9

سجل 3 (س 2 -3) = سجل 3 (2س)

سجل x+1 (x 2 +3x-7) = 2

إل جي 2 (س+1)+10 = 11إل جي(س+1)

حسنا، أنت تفهم... )

ملحوظة! توجد التعبيرات الأكثر تنوعًا التي تحتوي على X حصرا ضمن اللوغاريتمات.إذا ظهرت علامة X فجأة في مكان ما في المعادلة الخارج، على سبيل المثال:

سجل 2 س = 3+س،

ستكون هذه بالفعل معادلة من النوع المختلط. مثل هذه المعادلات ليس لها قواعد واضحة لحلها. لن نأخذهم بعين الاعتبار في الوقت الحالي. بالمناسبة، هناك معادلات داخل اللوغاريتمات أرقام فقط. على سبيل المثال:

ماذا استطيع قوله؟ أنت محظوظ إذا واجهت هذا! اللوغاريتم مع الأرقام هو بعض العدد.هذا كل شئ. ويكفي معرفة خصائص اللوغاريتمات لحل مثل هذه المعادلة. معرفة القواعد الخاصة والتقنيات المكيفة خصيصًا للحل معادلات لوغاريتمية,غير مطلوب هنا.

لذا، ما هي المعادلة اللوغاريتمية- لقد اكتشفنا ذلك.

كيفية حل المعادلات اللوغاريتمية؟

حل المعادلات اللوغاريتمية- الأمر في الواقع ليس بسيطًا جدًا. إذن قسمنا هو الرابع... مطلوب قدر لا بأس به من المعرفة في جميع أنواع المواضيع ذات الصلة. وبالإضافة إلى ذلك، هناك ميزة خاصة في هذه المعادلات. وهذه الميزة مهمة جدًا بحيث يمكن تسميتها بأمان المشكلة الرئيسية في حل المعادلات اللوغاريتمية. سنتعامل مع هذه المشكلة بالتفصيل في الدرس التالي.

في الوقت الحالي، لا تقلق. سنذهب في الطريق الصحيح من البسيط إلى المعقد.باستخدام أمثلة محددة. الشيء الرئيسي هو الخوض في أشياء بسيطة ولا تتكاسل في اتباع الروابط، لقد وضعتها هناك لسبب ما... وكل شيء سوف ينجح معك. بالضرورة.

لنبدأ بالمعادلات الأولية والأبسط. لحلها، من المستحسن أن يكون لديك فكرة عن اللوغاريتم، ولكن ليس أكثر من ذلك. فقط لا فكرة لوغاريتم,اتخاذ قرار لوغاريتميالمعادلات - بطريقة ما محرجة... أود أن أقول جريئة جدًا).

أبسط المعادلات اللوغاريتمية.

هذه معادلات من الشكل:

1. سجل 3 س = سجل 3 9

2. سجل 7 (2س-3) = سجل 7 س

3. سجل 7 (50س-1) = 2

عملية الحل أي معادلة لوغاريتميةيتكون من الانتقال من معادلة ذات لوغاريتمات إلى معادلة بدونها. في أبسط المعادلات يتم هذا التحول في خطوة واحدة. ولهذا السبب فهي الأبسط.)

ومن المثير للدهشة أن حل هذه المعادلات اللوغاريتمية سهل. انظر بنفسك.

دعونا نحل المثال الأول:

سجل 3 س = سجل 3 9

لحل هذا المثال، لا تحتاج إلى معرفة أي شيء تقريبًا، نعم... الحدس المحض!) ماذا نحتاج خصوصاًلا أحب هذا المثال؟ ماذا-ماذا... أنا لا أحب اللوغاريتمات! يمين. لذلك دعونا نتخلص منهم. إننا ننظر إلى المثال عن كثب، فتنشأ فينا رغبة طبيعية... لا تقاوم بصراحة! خذ اللوغاريتمات وتخلص منها تمامًا. والخير في ذلك يستطيعيفعل! الرياضيات تسمح. اللوغاريتمات تختفيالجواب هو:

عظيم، أليس كذلك؟ يمكن (ويجب) القيام بذلك دائمًا. يعد حذف اللوغاريتمات بهذه الطريقة إحدى الطرق الرئيسية لحل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات. في الرياضيات تسمى هذه العملية التقوية.وبطبيعة الحال، هناك قواعد لمثل هذه التصفية، لكنها قليلة. يتذكر:

يمكنك حذف اللوغاريتمات دون أي خوف إذا كانت تحتوي على:

أ) نفس القواعد العددية

ج) اللوغاريتمات من اليسار إلى اليمين نقية (بدون أي معاملات) وهي في عزلة رائعة.

اسمحوا لي أن أوضح النقطة الأخيرة. في المعادلة، دعنا نقول

سجل 3 × = 2سجل 3 (3س-1)

لا يمكن إزالة اللوغاريتمات. الاثنان على اليمين لا يسمحان بذلك. المعامل كما تعلم... في المثال

سجل 3 س+سجل 3 (س+1) = سجل 3 (3+س)

ومن المستحيل أيضًا تعزيز المعادلة. لا يوجد لوغاريتم وحيد على الجانب الأيسر. هناك اثنان منهم.

باختصار، يمكنك إزالة اللوغاريتمات إذا كانت المعادلة تبدو هكذا وفقط هكذا:

سجل (.....) = سجل (.....)

بين قوسين، حيث يوجد علامات الحذف، قد يكون هناك أي تعبيرات.بسيطة، ومعقدة للغاية، وجميع أنواعها. أيا كان. الشيء المهم هو أنه بعد حذف اللوغاريتمات يتبقى لنا معادلة أبسط.من المفترض، بالطبع، أنك تعرف بالفعل كيفية حل المعادلات الخطية والتربيعية والكسرية والأسية وغيرها من المعادلات بدون اللوغاريتمات.)

الآن يمكنك بسهولة حل المثال الثاني:

سجل 7 (2س-3) = سجل 7 س

في الواقع، تقرر في العقل. نحن نقوي ونحصل على:

حسنًا، هل الأمر صعب جدًا؟) كما ترون، لوغاريتميجزء من حل المعادلة هو فقط في حذف اللوغاريتمات...وبعد ذلك يأتي حل المعادلة المتبقية بدونهم. مسألة تافهة.

لنحل المثال الثالث:

سجل 7 (50س-1) = 2

نرى أن هناك لوغاريتم على اليسار:

ولنتذكر أن هذا اللوغاريتم هو رقم يجب رفع الأساس إليه (أي سبعة) للحصول على تعبير لوغاريتمي فرعي، أي. (50x-1).

ولكن هذا الرقم هو اثنان! وفقا للمعادل. إنه:

هذا كل شيء في الأساس. اللوغاريتم اختفى،ما تبقى هو معادلة غير ضارة:

لقد حللنا هذه المعادلة اللوغاريتمية بناءً على معنى اللوغاريتم فقط. هل لا يزال من الأسهل حذف اللوغاريتمات؟) أوافق. بالمناسبة، إذا قمت بإنشاء لوغاريتم من اثنين، فيمكنك حل هذا المثال من خلال الحذف. يمكن تحويل أي رقم إلى لوغاريتم. علاوة على ذلك، بالطريقة التي نحتاجها. تقنية مفيدة جدًا في حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات (خاصة!).

لا أعرف كيفية عمل لوغاريتم من رقم!؟ لا بأس. يصف القسم 555 هذه التقنية بالتفصيل. يمكنك إتقانها واستخدامها على أكمل وجه! أنه يقلل بشكل كبير من عدد الأخطاء.

يتم حل المعادلة الرابعة بطريقة مشابهة تمامًا (حسب التعريف):

هذا كل شيء.

دعونا نلخص هذا الدرس. لقد نظرنا إلى حل أبسط المعادلات اللوغاريتمية باستخدام الأمثلة. انها مهمة جدا. وليس فقط لأن مثل هذه المعادلات تظهر في الاختبارات والامتحانات. الحقيقة هي أنه حتى المعادلات الأكثر شرًا وتعقيدًا يتم اختزالها بالضرورة إلى أبسطها!

في الواقع، أبسط المعادلات هي الجزء الأخير من الحل أيالمعادلات. ويجب فهم هذا الجزء الأخير بدقة! وأكثر من ذلك. تأكد من قراءة هذه الصفحة حتى النهاية. هناك مفاجأة...)

الآن نقرر بأنفسنا. دعونا نتحسن ، إذا جاز التعبير ...)

أوجد جذر (أو مجموع الجذور، إذا كان هناك عدة) للمعادلات:

قانون الجنسية(7س+2) = قانون الجنسية(5س+20)

سجل 2 (س 2 +32) = سجل 2 (12س)

سجل 16 (0.5س-1.5) = 0.25

سجل 0.2 (3س-1) = -3

قانون الجنسية (ه 2 +2س-3) = 2

سجل 2 (14س) = سجل 2 7 + 2

الإجابات (في حالة من الفوضى بالطبع): 42؛ 12؛ 9؛ 25؛ 7؛ 1.5؛ 2؛ 16.

ماذا، ليس كل شيء يعمل؟ يحدث. لا تقلق! وتشرح المادة 555 الحل لجميع هذه الأمثلة بشكل واضح ومفصل. بالتأكيد ستكتشف ذلك هناك. سوف تتعلم أيضًا تقنيات عملية مفيدة.

نجح كل شيء !؟ كل الأمثلة على "يسار واحد"؟) تهانينا!

لقد حان الوقت لكشف الحقيقة المرة لك. الحل الناجح لهذه الأمثلة لا يضمن النجاح في حل جميع المعادلات اللوغاريتمية الأخرى. حتى أبسط تلك مثل هذه. واحسرتاه.

الحقيقة هي أن حل أي معادلة لوغاريتمية (حتى أبسطها!) يتكون من جزأين متساويين.حل المعادلة والعمل مع ODZ. لقد أتقننا جزءًا واحدًا - حل المعادلة نفسها. إنها ليست بتلك الصعوبةيمين؟

بالنسبة لهذا الدرس، قمت باختيار أمثلة خاصة لا يؤثر فيها DL على الإجابة بأي شكل من الأشكال. لكن ليس الجميع طيبين مثلي، أليس كذلك؟...)

لذلك، لا بد من السيطرة على الجزء الآخر. ODZ. هذه هي المشكلة الرئيسية في حل المعادلات اللوغاريتمية. وليس لأنه صعب، فهذا الجزء أسهل من الجزء الأول. ولكن لأن الناس ببساطة ينسون أمر ODZ. أو أنهم لا يعرفون. او كلاهما). ويسقطون من العدم..

في الدرس القادم سوف نتعامل مع هذه المشكلة. ثم يمكنك أن تقرر بثقة أيمعادلات لوغاريتمية بسيطة ونهج مهام قوية جدًا.

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.